Uma superfície quente a 100^circ C deve ser resfriada pela fixação de 24 aletas cilíndricas de cobre ( k=386 W / m K ) de 3 cm de comprimento e 0,25 cm de diâmetro, com distância de centro a centro de 0,6 cm. A temperatura do meio circundante é de 30^circ C, e o coeficiente de transferência de calor sobre a superfície é 35 W / m^2.K. Determine a taxa de transferência de calor a partir da superfície da seção da placa de 1 m times 1 m. Determine também a eficácia global das aletas.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Estamos lidando com um problema de transferência de calor envolvendo uma placa de a que precisa ser resfriada. Para isso, foram fixadas 24 aletas cilíndricas de cobre nas quais iremos calcular a taxa de transferência de calor e a eficácia global das aletas. Os principais conteúdos que vamos utilizar são:
  • Transferência de Calor por Convecção: Para calcular a transferência de calor da placa e das aletas para o ambiente.
  • Transferência de Calor através das Aletas (Condução e Convecção): Para determinar como as aletas melhoram a dissipação de calor.
Precisaremos das seguintes informações fornecidas:
  • Condutividade térmica do cobre ( )
  • Dimensões das aletas: comprimento ( ) e diâmetro ( )
  • Distância entre centros das aletas ( )
  • Temperatura do meio circundante ( )
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção ( )

Passo 2

Cálculo da Área de Superfície das Aletas
Primeiro, vamos calcular a área superficial de uma aleta cilíndrica. A área total de uma aleta ( Alateral = pi d L ) é composta pela área lateral e pelas duas bases, mas como as aletas estão fixadas na placa, desconsideramos uma das bases.
A área lateral de um cilindro é dada por:
Alateral = pi times 0,0025 , m times 0,03 , m approx 0,0002356 , m^2
Onde:
  • Aa<=t^total = Alateral + Abase = 0,0002356 , m^2 + pi (0,00252)^2 approx 0,0002356 , m^2 + 4,9 times 10^-6 , m^2 approx 0,0002405 , m^2
Calculando:
Como consideramos apenas uma base, a área total de uma aleta fica:

Passo 3

Cálculo da Área Total das Aletas
Agora, multiplicamos a área de uma aleta pelo número total de aletas ( Atotal a<=tas = N times Aa<=t^total = 24 times 0,0002405 , m^2 approx 0,005772 , m^2 ):

Passo 4

Determinação da Área Disponível para Transferência na Placa
A placa tem área total de Aocupada = s^2 = (0,006 , m)^2 = 0,000036 , m^2 . Porém, parte dessa área está ocupada pelas aletas. A distância entre centros das aletas é Aocupada total = N times Aocupada = 24 times 0,000036 , m^2 = 0,000864 , m^2 .
A área ocupada por uma aleta e pelo espaço ao redor:
Aplaca = 1 , m^2 - Aocupada total = 1 - 0,000864 approx 0,999136 , m^2
Total de área ocupada pelas 24 aletas:
Portanto, a área disponível para transferência de calor na placa ( ) é:

Passo 5

Cálculo da Taxa de Transferência de Calor da Placa sem Aletas
Utilizamos a fórmula da transferência de calor por convecção:
Qplaca = h times Aplaca times De
Onde:
  • Qplaca = 35 times 0,999136 times 70 approx 35 times 0,999136 times 70 approx 35 times 69,9395 approx 2447,88 , W
  • í
Calculando:

Passo 6

Cálculo da Taxa de Transferência de Calor das Aletas
Para as aletas, consideramos que a transferência de calor ocorre por condução ao longo da aleta e por convecção da superfície. A taxa de transferência de calor por uma aleta ( Qa<=t = raizh times P times k times Aalimentação ) é dada por:
Qa<=t = raizh times P times k times Aa<=t çã
No entanto, para simplificação, assumimos que as aletas são finas e longas, aplicando a fórmula simplificada:
P = pi times 0,0025 , m approx 0,00785 , m
Onde:
  • Aa<=t = pi ( 0,00252 )^2 approx 4,9 times 10^-6 , m^2 é o perímetro da aleta ( Qa<=t = raiz35 times 0,00785 times 386 times 4,9 times 10^-6 approx raiz35 times 0,00785 times 386 times 4,9 times 10^-6 approx raiz0,204 approx 0,451 , W )
  • Qfins = N times Qa<=t = 24 times 0,451 approx 10,82 , W
Calculando:
Taxa total das aletas:

Passo 7

Cálculo da Taxa Total de Transferência de Calor
Somando a transferência de calor da placa e das aletas:
Qtotal = Qplaca + Qfins = 2447,88 , W + 10,82 , W approx 2458,7 , W

Passo 8

Determinação da Eficácia Global das Aletas
A eficácia global ( eta = QtotalQplaca = 2458,72447,88 approx 1,004 ) é a razão entre a taxa de transferência de calor com as aletas e a taxa sem as aletas. Sem as aletas, apenas a placa transfere calor ( ).
Isso indica uma eficácia de aproximadamente , o que sugere uma melhora marginal na transferência de calor devido às aletas.

Resposta

A taxa de transferência de calor a partir da superfície da placa é aproximadamente e a eficácia global das aletas é de cerca de .

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