Um bastidor (equipamento utilizado para pressionar tecido) é formado por dois anéis, que quando soltos, têm as seguintes dimensões: o menor: espessura eA e raio rA o maior: espessura eB e raio rB Conhece-se o módulo de elasticidade ( E=1 times 10^5 Kgf / cm^2 ) do material dos anéis e a distância que deve mediar entre eles, quando apertam o tecido com a pressão exigida p . Pergunta-se qual deve ser o valor rB, sendo conhecido rA. DADOS: eA=eB=0,5 cm rA=20 cm p=6,0 Kg / cm^2 d=0,2 cm

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois anéis que formam um bastidor para pressionar tecido. O anel menor tem espessura e raio . O anel maior tem a mesma espessura e raio que precisamos descobrir. Sabemos que o módulo de elasticidade do material é e a pressão aplicada é , com uma distância entre os anéis quando pressionados. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente a relação entre tensão, deformação e módulo de elasticidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão sigma = E cdot varepsilon aplicada é a força por unidade de área. No caso dos anéis, a força que cada anel exerce pode causar uma deformação no raio. Como a espessura dos anéis é a mesma, podemos focar na deformação radial.
A relação entre tensão ( ), módulo de elasticidade ( ) e deformação ( ) é dada por:
Aqui, a tensão é a pressão , e a deformação é a mudança relativa no raio.

Passo 3

A deformação varepsilon = De pode ser expressa como:
De
onde é a variação no raio e é o raio original.
Dado que a distância entre os anéis muda em , essa variação é a soma das variações dos raios dos dois anéis:

Passo 4

Assumindo que ambos os anéis se deformam igualmente, temos:
De

Passo 5

Agora, usando a relação da tensão:
sigma = E cdot varepsilon Rightarrow p = E cdot De
Isolando De:

Passo 6

Para o anel menor:
De
Substituindo os valores:
0,1 = 6 cdot 201 times 10^5 Rightarrow 0,1 = 1201 times 10^5
Mas percebemos que isso não está coerente, o que indica que a deformação total está distribuída entre os dois anéis conforme suas rigidezes.

Passo 7

Considerando a rigidez dos anéis, que depende do módulo de elasticidade e da geometria, e que ambos os anéis têm a mesma espessura e módulo de elasticidade, a deformação será igual. Portanto, podemos escrever para o anel maior:
De
E sabemos que p cdot rAE + p cdot rBE = d :
pE (rA + rB) = d Rightarrow rA + rB = d cdot Ep
Simplificando:

Passo 8

Isolando rB = d cdot Ep - rA :
rB = 0,2 cdot 1 times 10^56 - 20
Substituindo os valores:
rB = 200006 - 20
rB approx 3333,33 - 20 = 3313,33 , cm

Resposta

O valor de é aproximadamente .

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