Um bastidor (equipamento utilizado para pressionar tecido) é formado por dois anéis, que quando soltos, têm as seguintes dimensões: o menor: espessura
e raio
o maior: espessura
e raio
Conhece-se o módulo de elasticidade (
) do material dos anéis e a distância que deve mediar entre eles, quando apertam o tecido com a pressão exigida p . Pergunta-se qual deve ser
valor
, sendo conhecido
. DADOS:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois anéis que formam um bastidor para pressionar tecido. O anel menor tem espessura
e raio
. O anel maior tem a mesma espessura
e raio
que precisamos descobrir. Sabemos que o módulo de elasticidade do material é
e a pressão aplicada é
, com uma distância
entre os anéis quando pressionados. Vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente a relação entre tensão, deformação e módulo de elasticidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão
aplicada é a força por unidade de área. No caso dos anéis, a força que cada anel exerce pode causar uma deformação no raio. Como a espessura dos anéis é a mesma, podemos focar na deformação radial.
A relação entre tensão (
), módulo de elasticidade (
) e deformação (
) é dada por:
Aqui, a tensão
é a pressão
, e a deformação
é a mudança relativa no raio.
Passo 3
A deformação
pode ser expressa como:
onde
é a variação no raio e
é o raio original.
Dado que a distância entre os anéis muda em
, essa variação é a soma das variações dos raios dos dois anéis:
Passo 4
Assumindo que ambos os anéis se deformam igualmente, temos:
Passo 5
Agora, usando a relação da tensão:
Isolando
:
Passo 6
Para o anel menor:
Substituindo os valores:
Mas percebemos que isso não está coerente, o que indica que a deformação total
está distribuída entre os dois anéis conforme suas rigidezes.
Passo 7
Considerando a rigidez dos anéis, que depende do módulo de elasticidade e da geometria, e que ambos os anéis têm a mesma espessura e módulo de elasticidade, a deformação será igual. Portanto, podemos escrever para o anel maior:
E sabemos que
:
Simplificando:
Passo 8
Isolando
:
Substituindo os valores:
Resposta
O valor de
é aproximadamente
.