Um saltador de esqui começa com uma velocidade de decolagem horizontal de
e pousa em uma colina de pouso reta inclinada a
. Determine (a) o tempo entre a decolagem e o pouso,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis! A gente tem um saltador de esqui que parte com uma velocidade horizontal de
e aterrissa numa colina inclinada a
. Nosso objetivo aqui é determinar o tempo que passa entre a decolagem e o pouso. Para isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniforme e do movimento uniformemente variado, além de entender um pouco sobre trigonometria para lidar com a inclinação da colina.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o movimento do saltador pode ser decomposto em duas direções: horizontal e vertical. Como a velocidade inicial é totalmente horizontal, a componente vertical da velocidade inicial é zero. Vamos chamar:
-
(velocidade inicial na direção horizontal) -
(velocidade inicial na direção vertical)
Passo 3
A posição do saltador em cada direção pode ser descrita pelas seguintes equações:
- Horizontal:
- Vertical:
Onde
é a aceleração da gravidade e
é o tempo.
Passo 4
Como a colina está inclinada a
, a equação da colina pode ser escrita usando a tangente desse ângulo:
Com
, temos:
E como
, substituímos:
Passo 5
No ponto de pouso, as posições horizontal e vertical do saltador devem satisfazer ambas as equações de movimento e da colina. Então, substituímos
da equação horizontal na equação da colina:
Isso nos dá:
Passo 6
Agora, igualamos a expressão de
obtida com a equação vertical do movimento:
Lembrando que
, simplificamos:
Passo 7
Podemos dividir ambos os lados por
(considerando
):
Resolvendo para
:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos o sinal negativo:
Passo 8
Agora, substituímos os valores:
Então,
Passo 9
Vamos calcular:
Primeiro, calculamos o numerador:
Depois, o denominador:
Então,
Resposta
O tempo entre a decolagem e o pouso é aproximadamente
segundos.