Para as estador de tensiso indicados, determine:
Componentes principais do tensor
a) [ccc0 & -75 & -55 -75 & 0 & 65 -55 & 65 & 0] MPa

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os componentes principais do tensor de tensões dado. A matéria aqui é Mecânica dos Sólidos, mais especificamente sobre tensores de tensão e componentes principais. Para resolver isso, vamos precisar calcular os autovalores do tensor, que são justamente os componentes principais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o tensor de tensão que foi fornecido:
0 & -75 & -55 -75 & 0 & 65 -55 & 65 & 0 , MPa

Passo 3

Os componentes principais do tensor são os autovalores dessa matriz. Para encontrá-los, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
det(sigma - lambda I) = 0
onde é o tensor de tensão e é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos montar a matriz -lambda & -75 & -55 -75 & -lambda & 65 -55 & 65 & -lambda :
det(sigma - lambda I) = -lambda ( (-lambda)(-lambda) - 65 times 65 ) - (-75) ( -75 times -lambda - 65 times -55 ) + (-55) ( -75 times 65 - (-lambda) times -55 )
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

Resolvendo o determinante e simplificando, obtemos uma equação cúbica em -lambda^3 + (75^2 + 55^2 + 65^2)lambda - (2 times 75 times 65 times 55) = 0 :
-lambda^3 + (5625 + 3025 + 4225)lambda - (2 times 75 times 65 times 55) = 0
Calculando os valores:
-lambda^3 + 12875lambda - 42750 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação cúbica, encontramos os autovalores:
lambda1 = 100 , MPa, lambda2 = -50 , MPa, lambda3 = -50 , MPa

Resposta

Os componentes principais do tensor de tensões são , e .

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