Uma bateria de fem varepsilon e resistência interna r fornece corrente a um aparelho de resistência R.
Para que valor de R a potência fornecida é máxima?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma bateria com força eletromotriz (fem) varepsilon e resistência interna r. Essa bateria está ligando um aparelho que tem resistência R. A pergunta é: para qual valor de R a potência fornecida ao aparelho será máxima? Vamos usar conceitos de circuitos elétricos, principalmente a Lei de Ohm e a fórmula da potência elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Ohm, que diz que a corrente elétrica I em um circuito é igual à diferença de potencial dividida pela resistência total. Aqui, a resistência total é a soma da resistência interna da bateria r e da resistência do aparelho R. Então, podemos escrever:
I = varepsilonR + r

Passo 3

Agora, vamos pensar na potência elétrica P que está sendo fornecida ao aparelho. A potência pode ser calculada multiplicando a corrente pelo potencial, ou usando a fórmula:
P = I^2 times R
Substituindo a expressão da corrente que encontramos:
P = ( varepsilonR + r )^2 times R

Passo 4

Para encontrar o valor de R que maximiza essa potência, vamos derivar a expressão de P em relação a R e igualar a zero. Isso nos dará o ponto de máximo.
Primeiro, simplificamos a expressão de P:
P = varepsilon^2 R(R + r)^2
Agora, derivamos P em relação a R:
dPdR = varepsilon^2 times (R + r)^2 - 2R(R + r)(R + r)^4
Simplificando a derivada:
dPdR = varepsilon^2 times r - R(R + r)^3
Igualando a derivada a zero para encontrar o máximo:
r - R = 0 implies R = r

Resposta

A potência fornecida ao aparelho é máxima quando a resistência R é igual à resistência interna r da bateria, ou seja, R = r.

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