Uin lio de aç cilíntrico de 55,0 cm de comprimento e
1,4 mm de diametro e densidade volumétrica p=7,30 kg^9 / mI^3 é fixado em ambas as exrremidades. A que tensào ele deve ser ajustado par que. ao vibrar em selt primeiro sobretom, produca a nota D^epsilon de írequência 311 IIz ? Suponha que a deformaçä) do fio seia desprezivel (Obs: um sobrctom correspoucle as frequénclas f2, f3 ldots ; f2 é o segundo hamônico on o primeiro sobretom). ( 2, opt)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Física que envolve ondas em fios cilíndricos. O enunciado nos dá as dimensões e a densidade do fio, além da frequência desejada para a vibração. Precisamos descobrir qual tensão deve ser aplicada no fio para que, ao vibrar no primeiro sobretom, produza a nota Dε com frequência de 311 Hz. Para isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cordas e a relação entre tensão, densidade linear e frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um sobretom. Em uma corda fixa em ambas as extremidades, as frequências de vibração são múltiplos inteiros da frequência fundamental. O primeiro sobretom corresponde à segunda harmônica, ou seja, duas vezes a frequência fundamental .

Passo 3

A relação entre a frequência fn = n2L raizTmu de um harmônico , a tensão na corda, a densidade linear e o comprimento da corda é dada pela fórmula:
Neste caso, para o primeiro sobretom.

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular a densidade linear mu = rho cdot A da corda, que é a massa por unidade de comprimento. A densidade linear é dada por:
Onde é a densidade volumétrica e é a área da seção transversal da corda.

Passo 5

Vamos calcular a área da seção transversal A = pi ( d2 )^2 da corda, que é circular:
Onde é o diâmetro da corda.

Passo 6

Convertendo as unidades para o Sistema Internacional. O diâmetro e o comprimento .

Passo 7

Calculando a área A = pi ( 1,4 times 10^-3 m2 )^2 = pi ( 0,7 times 10^-3 m )^2 approx 1,54 times 10^-6 m^2 :

Passo 8

Agora, calculamos a densidade linear mu = rho cdot A = 7,30 kgm^3 times 1,54 times 10^-6 m^2 approx 1,124 times 10^-5 kgm :

Passo 9

Sabemos que queremos o primeiro sobretom fn = n2L raizTmu . Usando a fórmula da frequência:
311 = 22 times 0,55 raizT1,124 times 10^-5
Substituindo , , e :

Passo 10

Simplificando a equação:
311 = 10,55 raizT1,124 times 10^-5
Multiplicando ambos os lados por 311 times 0,55 = raizT1,124 times 10^-5 :
170,05 = raizT1,124 times 10^-5

Passo 11

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(170,05)^2 = T1,124 times 10^-5
28917 = T1,124 times 10^-5

Passo 12

Agora, isolamos T = 28917 times 1,124 times 10^-5 approx 0,325 N :

Resposta

A tensão deve ser ajustada para aproximadamente 0,325 N.

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