Uin lio de aç cilíntrico de
de comprimento e
de diametro e densidade volumétrica
é fixado em ambas as exrremidades. A que tensào ele deve ser ajustado par que. ao vibrar em selt primeiro sobretom, produca a nota
de írequência 311 IIz ? Suponha que a deformaçä) do fio seia desprezivel (Obs: um sobrctom correspoucle as frequénclas
é o segundo hamônico on o primeiro sobretom). ( 2, opt)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Física que envolve ondas em fios cilíndricos. O enunciado nos dá as dimensões e a densidade do fio, além da frequência desejada para a vibração. Precisamos descobrir qual tensão deve ser aplicada no fio para que, ao vibrar no primeiro sobretom, produza a nota Dε com frequência de 311 Hz. Para isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cordas e a relação entre tensão, densidade linear e frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um sobretom. Em uma corda fixa em ambas as extremidades, as frequências de vibração são múltiplos inteiros da frequência fundamental. O primeiro sobretom corresponde à segunda harmônica, ou seja, duas vezes a frequência fundamental
.
Passo 3
A relação entre a frequência
de um harmônico
, a tensão
na corda, a densidade linear
e o comprimento
da corda é dada pela fórmula:
Neste caso,
para o primeiro sobretom.
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular a densidade linear
da corda, que é a massa por unidade de comprimento. A densidade linear é dada por:
Onde
é a densidade volumétrica e
é a área da seção transversal da corda.
Passo 5
Vamos calcular a área da seção transversal
da corda, que é circular:
Onde
é o diâmetro da corda.
Passo 6
Convertendo as unidades para o Sistema Internacional. O diâmetro
e o comprimento
.
Passo 7
Calculando a área
:
Passo 8
Agora, calculamos a densidade linear
:
Passo 9
Sabemos que queremos o primeiro sobretom
. Usando a fórmula da frequência:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 10
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 11
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 12
Agora, isolamos
:
Resposta
A tensão deve ser ajustada para aproximadamente 0,325 N.
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e
.
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