A bateria gera uma diferença de potencial de
volts, enquanto a resistência
é de 100 ohms e a indutância L é de 0,5 henrys. Encontre a corrente
em cada instante t , se
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. O exercício fala sobre um circuito que tem uma bateria com uma diferença de potencial de
volts, uma resistência de
ohms e uma indutância de
henrys. Nosso objetivo é descobrir qual é a corrente
em cada instante de tempo
, sabendo que no começo, quando
, a corrente
. Vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especificamente sobre indução e como a corrente varia em um circuito indutivo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da lei de Kirchhoff para um circuito fechado. Ela diz que a soma das quedas de tensão em todos os elementos do circuito é igual à tensão fornecida pela fonte. Para um circuito com resistência
e indutância
, a equação fica:
Aqui,
é a queda de tensão na resistência e
é a queda de tensão na indutância devido à variação da corrente.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
. Para isso, vamos resolver a equação diferencial:
Sabemos que
volts,
ohms e
henrys. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Dividindo todos os termos por 0,5 para simplificar:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para esse tipo de equação é dada por:
Primeiro, achamos a solução da equação homogênea
:
Onde
é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 6
Agora, encontramos a solução particular da equação completa. Como o lado direito é uma constante (20), a solução particular será também uma constante. Vamos chamar de
.
Substituindo na equação:
Passo 7
Então, a solução geral da corrente é a soma das duas soluções:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 8
Substituindo o valor de
na expressão geral:
Podemos fatorar o 0,1:
Resposta
A corrente em cada instante
é dada por:
Exercícios relacionados
Encontre a área da região limitada pelas curvas:
e
.
Encontre a área da região limitada pelas curvas:
e
.
Encontre a área da região limitada pelas curvas:
e
.
(b) Um termômetro com uma leitura de
é colocado em um meio tendo uma temperatura constante de
. Depois de 6 minutos, o termômetro indica
. Qual é a leitura após 20 minutos?