A bateria gera uma diferença de potencial de volts, enquanto a resistência é de 100 ohms e a indutância L é de 0,5 henrys. Encontre a corrente em cada instante t , se .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. O exercício fala sobre um circuito que tem uma bateria com uma diferença de potencial de volts, uma resistência de ohms e uma indutância de henrys. Nosso objetivo é descobrir qual é a corrente em cada instante de tempo , sabendo que no começo, quando , a corrente . Vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especificamente sobre indução e como a corrente varia em um circuito indutivo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da lei de Kirchhoff para um circuito fechado. Ela diz que a soma das quedas de tensão em todos os elementos do circuito é igual à tensão fornecida pela fonte. Para um circuito com resistência e indutância , a equação fica:
Aqui, é a queda de tensão na resistência e é a queda de tensão na indutância devido à variação da corrente.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar . Para isso, vamos resolver a equação diferencial:
Sabemos que volts, ohms e henrys. Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Dividindo todos os termos por 0,5 para simplificar:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para esse tipo de equação é dada por:
ê
Primeiro, achamos a solução da equação homogênea :
ê
Onde é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 6

Agora, encontramos a solução particular da equação completa. Como o lado direito é uma constante (20), a solução particular será também uma constante. Vamos chamar de .
Substituindo na equação:

Passo 7

Então, a solução geral da corrente é a soma das duas soluções:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar :

Passo 8

Substituindo o valor de na expressão geral:
Podemos fatorar o 0,1:

Resposta

A corrente em cada instante é dada por:

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