(b) Um termômetro com uma leitura de 100°F é colocado em um meio tendo uma temperatura constante de 70 graus F. Depois de 6 minutos, o termômetro indica 80 graus F. Qual é a leitura após 20 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos um termômetro que inicialmente marca 100°F e é colocado em um ambiente cuja temperatura é constante em 70 graus F. Depois de 6 minutos, o termômetro passa a indicar 80 graus F. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a leitura do termômetro após 20 minutos. Para isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente de temperatura constante.

Passo 2

A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. A fórmula matemática que representa essa lei é:
Onde:
  • T(t) é a temperatura do objeto no tempo t.
  • é a temperatura do ambiente.
  • é a temperatura inicial do objeto.
  • k é uma constante positiva que depende das características do objeto e do ambiente.
  • e é a base dos logaritmos naturais.

Passo 3

Vamos identificar os valores que já temos na questão:
  • Temperatura inicial do termômetro, .
  • Temperatura do ambiente, .
  • Temperatura após 6 minutos, .
Precisamos encontrar a constante k para depois usar na fórmula e descobrir a temperatura após 20 minutos.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula para encontrar k:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 30:

Passo 5

Agora, para resolver para k, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que , então:
Cancelando os sinais negativos:
Isolando k:

Passo 6

Agora que temos k, podemos usar a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton para encontrar a temperatura após 20 minutos, ou seja, :
Substituindo k:
Simplificando a expressão:
Como , temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor numérico:
Primeiro, calculamos :
Aproximadamente, , então:
Agora, substituindo de volta:

Resposta

Após 20 minutos, o termômetro indicará aproximadamente .

Exercícios relacionados