(b) Um termômetro com uma leitura de
é colocado em um meio tendo uma temperatura constante de
. Depois de 6 minutos, o termômetro indica
. Qual é a leitura após 20 minutos?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos um termômetro que inicialmente marca
e é colocado em um ambiente cuja temperatura é constante em
. Depois de 6 minutos, o termômetro passa a indicar
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a leitura do termômetro após 20 minutos. Para isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente de temperatura constante.
Passo 2
A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. A fórmula matemática que representa essa lei é:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo . -
é a temperatura do ambiente. -
é a temperatura inicial do objeto. -
é uma constante positiva que depende das características do objeto e do ambiente. -
é a base dos logaritmos naturais.
Passo 3
Vamos identificar os valores que já temos na questão:
- Temperatura inicial do termômetro,
. - Temperatura do ambiente,
. - Temperatura após 6 minutos,
.
Precisamos encontrar a constante
para depois usar na fórmula e descobrir a temperatura após 20 minutos.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula para encontrar
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 30:
Passo 5
Agora, para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Cancelando os sinais negativos:
Isolando
:
Passo 6
Agora que temos
, podemos usar a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton para encontrar a temperatura após 20 minutos, ou seja,
:
Substituindo
:
Simplificando a expressão:
Como
, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor numérico:
Primeiro, calculamos
:
Aproximadamente,
, então:
Agora, substituindo de volta:
Resposta
Após 20 minutos, o termômetro indicará aproximadamente
.