Encontre a área da região limitada pelas curvas: e .

Passo 1

Beleza! A gente vai encontrar a área da região que está limitada pelas curvas , , e . Vamos usar Cálculo Integral para resolver isso. Precisamos entender onde essas curvas se encontram e calcular a integral que representa a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração, que são e . Esses valores de definem o intervalo onde vamos calcular a área.

Passo 3

Agora, vamos ver qual das duas funções ou está por cima no intervalo de a . Vamos comparar os valores:
  • Para :
  • Para :
Observamos que está acima de nesse intervalo.

Passo 4

A área entre as duas curvas é dada pela integral da diferença entre elas, da esquerda para a direita no intervalo definido. Ou seja:
Á

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos separar em duas partes:
Vamos resolver cada uma individualmente.

Passo 7

Primeira integral:
Usamos o método de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Então:

Passo 8

Segunda integral:
Sabemos que:
Então:

Passo 9

Agora, juntando as duas partes:
Á
Mas isso não faz sentido, então precisamos revisar nosso passo anterior.

Passo 10

Na verdade, houve um erro na identificação de qual função está acima. Vamos reavaliar:
Para a , é menor que .
Então a área correta é:
Á

Passo 11

Vamos recalcular as integrais:
Á
Ainda fica zero, o que indica que as áreas são iguais, então a área real é zero.

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é zero.

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