Encontre a área da região limitada pelas curvas:
e
.
Passo 1
Nesse exercício, queremos encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, como encontrar os pontos de interseção das retas, e cálculo para calcular a área dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das curvas de forma mais simples:
-
→ -
→ -
-
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites da região. Precisamos resolver sistemas de equações para encontrar onde as retas se cruzam.
Interseção entre
e
:
Ponto de interseção:
Interseção entre
e
:
Ponto de interseção:
Interseção entre
e
:
Ponto de interseção:
Interseção entre
e
:
Ponto de interseção:
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar a região. A área está limitada pelos seguintes pontos:
,
,
e
.
Passo 5
Para calcular a área dessa região, podemos dividir em duas partes: um trapézio e um triângulo.
Trapézio entre
,
,
e
:
Calculamos a área usando a fórmula do trapézio:
Onde
(base menor),
(base maior) e
(altura).
Triângulo entre
,
e
:
Usamos a fórmula da área do triângulo:
Escolhemos a base entre
e
:
A altura é a distância do ponto
à linha da base. Calculamos essa distância:
Usamos a fórmula da distância ponto à reta:
Equação da base
→
→
Passo 6
Somamos as áreas das duas partes para obter a área total da região:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.