Encontre a área da região limitada pelas curvas: e .

Passo 1

Nesse exercício, queremos encontrar a área da região limitada pelas curvas , , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, como encontrar os pontos de interseção das retas, e cálculo para calcular a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das curvas de forma mais simples:

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites da região. Precisamos resolver sistemas de equações para encontrar onde as retas se cruzam.
Interseção entre e :
Ponto de interseção:
Interseção entre e :
Ponto de interseção:
Interseção entre e :
Ponto de interseção:
Interseção entre e :
Ponto de interseção:

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar a região. A área está limitada pelos seguintes pontos: , , e .

Passo 5

Para calcular a área dessa região, podemos dividir em duas partes: um trapézio e um triângulo.
Trapézio entre , , e :
Calculamos a área usando a fórmula do trapézio:
Á
Onde (base menor), (base maior) e (altura).
Á
Triângulo entre , e :
Usamos a fórmula da área do triângulo:
Á
Escolhemos a base entre e :
A altura é a distância do ponto à linha da base. Calculamos essa distância:
Usamos a fórmula da distância ponto à reta:
Equação da base
Á

Passo 6

Somamos as áreas das duas partes para obter a área total da região:
ÁÁÁ

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

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