Um meliante foge sobre uma muralha reta a uma velocidade de . Um holofote localizado a 20 metros de distância da muralha, e mesma altura que esta, focaliza o homem em fuga. A que taxa o holofote está girando quando o gatuno se encontra a 15 metros do ponto da muralha que está mais próximo do holofote? RESPOSTA:

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de movimento e ângulos aqui. Basicamente, um cara está fugindo numa muralha a uma certa velocidade, e tem um holofote a 20 metros de distância tentando acompanhar ele. Precisamos descobrir quão rápido o holofote está girando quando o malandro está a 15 metros do ponto mais próximo da muralha ao holofote. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e trigonometria para relacionar as distâncias e os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar a situação. Imagine uma muralha reta e o holofote a 20 metros de distância dela. O malandro está se movendo ao longo da muralha a uma velocidade de 4 m/s. Quando ele está a 15 metros do ponto mais próximo da muralha ao holofote, queremos saber a taxa de variação do ângulo que o holofote forma com a muralha.

Passo 3

Vamos chamar a distância do malandro ao ponto mais próximo da muralha de . A distância fixa entre o holofote e a muralha é de 20 metros. O ângulo que o holofote forma com a muralha vamos chamar de . Temos um triângulo retângulo onde:

Passo 4

Queremos encontrar a taxa de variação de em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a equação em relação ao tempo :
Sabemos que:

Passo 5

Sabemos que o malandro está se movendo a . Agora, precisamos encontrar quando . Primeiro, vamos encontrar :
Então,

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação derivada:
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo para :

Resposta

A taxa de variação do ângulo do holofote é .

Exercícios relacionados

Da beira de um rochedo 60 m acima de um lago um menino deixa cair um pedra e, depois de deixa cair outra pedra da mesma posição. Discuta a taxa na qual a distância entre as pedras varia durante o próximo segundo (Admita que a distância percorrida em segundos por um objeto em queda livre é ). RESPOSTA:19,6 m/s
Uma luz está no alto de um poste de 5 m . Um menino de se afasta do poste em linha reta à razão de . A que taxa se move a ponta de sua sombra quando ele está a 6 m do poste? A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra? RESPOSTA:a) b)
Um míssel é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento, e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundo de vôo, seu ângulo de elevação varia à razão constante de 2 graus por segundo. Determine a velocidade do míssel quando o ângulo de elevação for 30 graus. RESPOSTA:
(Enem 2020 - adaptado) Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente. André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, passando ou não pela casa do Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ( ) . ou para cima ( ), segundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é
a) 18
c) !
d) 34
e) 35