Um meliante foge sobre uma muralha reta a uma velocidade de
. Um holofote localizado a 20 metros de distância da muralha, e mesma altura que esta, focaliza o homem em fuga. A que taxa o holofote está girando quando o gatuno se encontra a 15 metros do ponto da muralha que está mais próximo do holofote? RESPOSTA:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema de movimento e ângulos aqui. Basicamente, um cara está fugindo numa muralha a uma certa velocidade, e tem um holofote a 20 metros de distância tentando acompanhar ele. Precisamos descobrir quão rápido o holofote está girando quando o malandro está a 15 metros do ponto mais próximo da muralha ao holofote. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e trigonometria para relacionar as distâncias e os ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar a situação. Imagine uma muralha reta e o holofote a 20 metros de distância dela. O malandro está se movendo ao longo da muralha a uma velocidade de 4 m/s. Quando ele está a 15 metros do ponto mais próximo da muralha ao holofote, queremos saber a taxa de variação do ângulo que o holofote forma com a muralha.
Passo 3
Vamos chamar a distância do malandro ao ponto mais próximo da muralha de
. A distância fixa entre o holofote e a muralha é de 20 metros. O ângulo que o holofote forma com a muralha vamos chamar de
. Temos um triângulo retângulo onde:
Passo 4
Queremos encontrar a taxa de variação de
em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a equação em relação ao tempo
:
Sabemos que:
Passo 5
Sabemos que o malandro está se movendo a
. Agora, precisamos encontrar
quando
. Primeiro, vamos encontrar
:
Então,
Passo 6
Agora, substituímos os valores na equação derivada:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
A taxa de variação do ângulo do holofote é
.