Um meliante foge sobre uma muralha reta a uma velocidade de 4 m/s. Um holofote localizado a 20 metros de distância da muralha, e mesma altura que esta, focaliza o homem em fuga. A que taxa o holofote está girando quando o gatuno se encontra a 15 metros do ponto da muralha que está mais próximo do holofote? RESPOSTA: 16/125 rad/s

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de movimento e ângulos aqui. Basicamente, um cara está fugindo numa muralha a uma certa velocidade, e tem um holofote a 20 metros de distância tentando acompanhar ele. Precisamos descobrir quão rápido o holofote está girando quando o malandro está a 15 metros do ponto mais próximo da muralha ao holofote. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e trigonometria para relacionar as distâncias e os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar a situação. Imagine uma muralha reta e o holofote a 20 metros de distância dela. O malandro está se movendo ao longo da muralha a uma velocidade de 4 m/s. Quando ele está a 15 metros do ponto mais próximo da muralha ao holofote, queremos saber a taxa de variação do ângulo que o holofote forma com a muralha.

Passo 3

Vamos chamar a distância do malandro ao ponto mais próximo da muralha de . A distância fixa entre o holofote e a muralha é de 20 metros. O ângulo que o holofote forma com a muralha vamos chamar de . Temos um triângulo retângulo onde:

Passo 4

Queremos encontrar a taxa de variação de em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a equação em relação ao tempo :
Sabemos que:

Passo 5

Sabemos que o malandro está se movendo a . Agora, precisamos encontrar quando . Primeiro, vamos encontrar :
Então,

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação derivada:
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo para :

Resposta

A taxa de variação do ângulo do holofote é .

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