Um míssel é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento, e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundo de vôo, seu ângulo de elevação theta varia à razão constante de 2 graus por segundo. Determine a velocidade do míssel quando o ângulo de elevação for 30 graus. RESPOSTA: 32 * pi / 270 Km / s

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um míssil que é lançado verticalmente para cima a partir de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento, na mesma altura dessa estação. Durante os primeiros 20 segundos de voo, o ângulo de elevação theta do míssil varia a uma taxa constante de 2 graus por segundo. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade do míssil quando esse ângulo de elevação atingir 30 graus.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática relacionados a taxas de variação e trigonometria, especificamente envolvendo funções trigonométricas e derivadas. Vamos precisar relacionar o ângulo de elevação ao tempo e à velocidade vertical do míssil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o ângulo de elevação theta, a distância horizontal constante de 8 km, e a altura vertical y do míssil. Podemos visualizar isso como um triângulo retângulo onde:
  • O cateto adjacente é a distância horizontal fixa de 8 km.
  • O cateto oposto é a altura y do míssil.
  • A hipotenusa não nos interessa diretamente aqui.
A tangente do ângulo de elevação está relacionada a essas medidas pela fórmula:

Passo 3

Nosso próximo passo é derivar essa relação em relação ao tempo para conectar as taxas de variação. Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a t:
Lembrando que a derivada de em relação a t é , e a derivada de é . Assim, temos:

Passo 4

Agora, queremos isolar , que é justamente a velocidade vertical do míssil:
Sabemos que é a taxa de variação do ângulo de elevação, que é dada como 2 graus por segundo. No entanto, para trabalhar com cálculos em trigonometria, precisamos converter essa taxa para radianos por segundo:

Passo 5

Agora, substituímos e na equação da velocidade:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Substituindo esse valor na equação da velocidade:

Resposta

A velocidade do míssil quando o ângulo de elevação for 30 graus é .

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