Um míssel é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento, e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundo de vôo, seu ângulo de elevação varia à razão constante de 2 graus por segundo. Determine a velocidade do míssel quando o ângulo de elevação for 30 graus. RESPOSTA:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um míssil que é lançado verticalmente para cima a partir de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento, na mesma altura dessa estação. Durante os primeiros 20 segundos de voo, o ângulo de elevação do míssil varia a uma taxa constante de 2 graus por segundo. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade do míssil quando esse ângulo de elevação atingir 30 graus.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática relacionados a taxas de variação e trigonometria, especificamente envolvendo funções trigonométricas e derivadas. Vamos precisar relacionar o ângulo de elevação ao tempo e à velocidade vertical do míssil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o ângulo de elevação , a distância horizontal constante de 8 km, e a altura vertical do míssil. Podemos visualizar isso como um triângulo retângulo onde:
  • O cateto adjacente é a distância horizontal fixa de 8 km.
  • O cateto oposto é a altura do míssil.
  • A hipotenusa não nos interessa diretamente aqui.
A tangente do ângulo de elevação está relacionada a essas medidas pela fórmula:

Passo 3

Nosso próximo passo é derivar essa relação em relação ao tempo para conectar as taxas de variação. Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a :
Lembrando que a derivada de em relação a é , e a derivada de é . Assim, temos:

Passo 4

Agora, queremos isolar , que é justamente a velocidade vertical do míssil:
Sabemos que é a taxa de variação do ângulo de elevação, que é dada como 2 graus por segundo. No entanto, para trabalhar com cálculos em trigonometria, precisamos converter essa taxa para radianos por segundo:

Passo 5

Agora, substituímos e na equação da velocidade:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Substituindo esse valor na equação da velocidade:

Resposta

A velocidade do míssil quando o ângulo de elevação for 30 graus é .

Exercícios relacionados

Um meliante foge sobre uma muralha reta a uma velocidade de . Um holofote localizado a 20 metros de distância da muralha, e mesma altura que esta, focaliza o homem em fuga. A que taxa o holofote está girando quando o gatuno se encontra a 15 metros do ponto da muralha que está mais próximo do holofote? RESPOSTA:
Da beira de um rochedo 60 m acima de um lago um menino deixa cair um pedra e, depois de deixa cair outra pedra da mesma posição. Discuta a taxa na qual a distância entre as pedras varia durante o próximo segundo (Admita que a distância percorrida em segundos por um objeto em queda livre é ). RESPOSTA:19,6 m/s
(Enem 2020 - adaptado) Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente. André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, passando ou não pela casa do Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ( ) . ou para cima ( ), segundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é
a) 18
c) !
d) 34
e) 35
(Enem 2017 - adaptado) Na tentativa de inovar em termos de esportes, os estudantes da turma AGRO B - 2024 resolveram fazer um torneio de ordenhamento de vacas. Decidiram que cada esportista disputaria uma única vez com. cada um dos demais atletas. O campeão será aquele que conseguir a maior quantidade de leite num tempo programado. Observaram que para o melhor manejo e saúde dos animais, cada vaca participaria de uma única disputa. Sabendo que há 36 vacas em condições de ordenhamento, quanto estudantes poderiam se candidatar para o torneio?
a)
b)
c) 18
d)
e) 6
Boa prova!