Um míssel é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento, e à mesma altura desta. Durante os primeiros 20 segundo de vôo, seu ângulo de elevação
varia à razão constante de 2 graus por segundo. Determine a velocidade do míssel quando o ângulo de elevação for 30 graus. RESPOSTA:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um míssil que é lançado verticalmente para cima a partir de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento, na mesma altura dessa estação. Durante os primeiros 20 segundos de voo, o ângulo de elevação
do míssil varia a uma taxa constante de 2 graus por segundo. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade do míssil quando esse ângulo de elevação atingir 30 graus.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática relacionados a taxas de variação e trigonometria, especificamente envolvendo funções trigonométricas e derivadas. Vamos precisar relacionar o ângulo de elevação ao tempo e à velocidade vertical do míssil.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o ângulo de elevação
, a distância horizontal constante de 8 km, e a altura vertical
do míssil. Podemos visualizar isso como um triângulo retângulo onde:
- O cateto adjacente é a distância horizontal fixa de 8 km.
- O cateto oposto é a altura
do míssil. - A hipotenusa não nos interessa diretamente aqui.
A tangente do ângulo de elevação está relacionada a essas medidas pela fórmula:
Passo 3
Nosso próximo passo é derivar essa relação em relação ao tempo para conectar as taxas de variação. Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
:
Lembrando que a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
. Assim, temos:
Passo 4
Agora, queremos isolar
, que é justamente a velocidade vertical do míssil:
Sabemos que
é a taxa de variação do ângulo de elevação, que é dada como 2 graus por segundo. No entanto, para trabalhar com cálculos em trigonometria, precisamos converter essa taxa para radianos por segundo:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação da velocidade:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Substituindo esse valor na equação da velocidade:
Resposta
A velocidade do míssil quando o ângulo de elevação for 30 graus é
.