Um bem pode ser adquirido à vista por \$ ou pagando-se ou pagando-se de entrada mais duas prestações de de entrada mais duas prestacoes de cada, a primeira para 3 meses e a segunda para 7 meses. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. Se a taxa de juros vigente no mercado para aplicações financeiras for 19000 a.m., qual será a melhor opção de compra?

Passo 1

Vamos entender o problema: temos duas opções para comprar um bem que custa \$. A primeira opção é pagar à vista esse valor. A segunda opção envolve pagar de entrada e depois duas prestações de cada, sendo a primeira em 3 meses e a segunda em 7 meses. Nosso objetivo é calcular a taxa de juros efetiva cobrada nesse financiamento. Além disso, queremos comparar essa taxa com a taxa de juros vigente no mercado, que é de ao mês, para decidir qual é a melhor opção de compra.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática financeira, especificamente o cálculo da taxa interna de retorno (TIR) ou taxa efetiva de juros, que nos ajudará a determinar a rentabilidade do financiamento em relação à taxa de mercado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da entrada. Sabemos que a entrada é de \$:

Passo 3

Agora, vamos identificar os fluxos de caixa da segunda opção de compra (financiamento):
  • Hoje (mês 0): Pagamento da entrada de \$ (saída de dinheiro).
  • Mês 3: Pagamento da primeira prestação de (saída de dinheiro).
  • Mês 7: Pagamento da segunda prestação de (saída de dinheiro).

Passo 4

Para encontrar a taxa de juros efetiva, vamos igualar o valor presente das duas opções de compra. A primeira opção é pagar à vista \$. A segunda opção envolve a entrada e as duas prestações futuras, que devem ter um valor presente equivalente a .
A fórmula do valor presente (VP) para cada prestação é:
onde:
  • é a taxa de juros efetiva por período (mês).
  • i é o número de períodos (meses) até o pagamento.

Passo 5

Vamos calcular o valor presente de cada pagamento na segunda opção:
  1. Entrada no mês 0: \$ (já no valor presente, pois ocorre hoje).
  2. Primeira prestação no mês 3:
  1. Segunda prestação no mês 7:

Passo 6

A soma dos valores presentes da entrada e das duas prestações deve ser igual à compra à vista:
Essa é uma equação que precisamos resolver para encontrar a taxa de juros efetiva i.

Passo 7

Resolver essa equação analiticamente pode ser complicado, então vamos utilizar um método de tentativa e erro ou uma calculadora financeira para encontrar o valor de i que satisfaz a equação.
Vamos testar diferentes taxas de juros até encontrar aquela que aproxima o lado esquerdo da equação de \$.

Passo 8

Vamos supor uma taxa de juros inicial e calcular os valores presentes:
Teste com ao mês:
O valor é maior, precisamos aumentar a taxa de juros.

Passo 9

Teste com ao mês:
Ainda maior, aumentamos mais a taxa.

Passo 10

Teste com ao mês:
Ainda precisamos aumentar a taxa.

Passo 11

Teste com ao mês:
Estamos chegando mais perto. Vamos aumentar um pouco mais.

Passo 12

Teste com ao mês:

Passo 13

Teste com ao mês:
Próximo o suficiente.

Passo 14

Encontramos que com uma taxa de juros efetiva de aproximadamente ao mês, a soma dos valores presentes das prestações iguala-se a \$.

Resposta

A taxa de juros efetiva cobrada no financiamento é de aproximadamente ao mês. Como essa taxa é maior que a taxa vigente no mercado de ao mês, a melhor opção de compra é pagar o bem à vista por \$.

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