Um bem pode ser adquirido à vista por
ou pagando-se
de entrada mais duas prestações de
cada, a primeira para 3 meses e a segunda para 7 meses. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. Se a taxa de juros vigente no mercado para aplicações financeiras for
a.m., qual será a melhor opção de compra?
Passo 1
Vamos entender o problema: temos duas opções para comprar um bem que custa
. A primeira opção é pagar à vista esse valor. A segunda opção envolve pagar
de entrada e depois duas prestações de
cada, sendo a primeira em 3 meses e a segunda em 7 meses. Nosso objetivo é calcular a taxa de juros efetiva cobrada nesse financiamento. Além disso, queremos comparar essa taxa com a taxa de juros vigente no mercado, que é de
ao mês, para decidir qual é a melhor opção de compra.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática financeira, especificamente o cálculo da taxa interna de retorno (TIR) ou taxa efetiva de juros, que nos ajudará a determinar a rentabilidade do financiamento em relação à taxa de mercado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da entrada. Sabemos que a entrada é
de
:
Passo 3
Agora, vamos identificar os fluxos de caixa da segunda opção de compra (financiamento):
- Hoje (mês 0): Pagamento da entrada de
(saída de dinheiro). - Mês 3: Pagamento da primeira prestação de
(saída de dinheiro). - Mês 7: Pagamento da segunda prestação de
(saída de dinheiro).
Passo 4
Para encontrar a taxa de juros efetiva, vamos igualar o valor presente das duas opções de compra. A primeira opção é pagar à vista
. A segunda opção envolve a entrada e as duas prestações futuras, que devem ter um valor presente equivalente a
.
A fórmula do valor presente (VP) para cada prestação é:
onde:
-
é a taxa de juros efetiva por período (mês). -
é o número de períodos (meses) até o pagamento.
Passo 5
Vamos calcular o valor presente de cada pagamento na segunda opção:
- Entrada no mês 0:
(já no valor presente, pois ocorre hoje). - Primeira prestação no mês 3:
- Segunda prestação no mês 7:
Passo 6
A soma dos valores presentes da entrada e das duas prestações deve ser igual à compra à vista:
Essa é uma equação que precisamos resolver para encontrar a taxa de juros efetiva
.
Passo 7
Resolver essa equação analiticamente pode ser complicado, então vamos utilizar um método de tentativa e erro ou uma calculadora financeira para encontrar o valor de
que satisfaz a equação.
Vamos testar diferentes taxas de juros até encontrar aquela que aproxima o lado esquerdo da equação de
.
Passo 8
Vamos supor uma taxa de juros inicial e calcular os valores presentes:
Teste com
ao mês:
O valor é maior, precisamos aumentar a taxa de juros.
Passo 9
Teste com
ao mês:
Ainda maior, aumentamos mais a taxa.
Passo 10
Teste com
ao mês:
Ainda precisamos aumentar a taxa.
Passo 11
Teste com
ao mês:
Estamos chegando mais perto. Vamos aumentar um pouco mais.
Passo 12
Teste com
ao mês:
Passo 13
Teste com
ao mês:
Próximo o suficiente.
Passo 14
Encontramos que com uma taxa de juros efetiva de aproximadamente
ao mês, a soma dos valores presentes das prestações iguala-se a
.
Resposta
A taxa de juros efetiva cobrada no financiamento é de aproximadamente
ao mês. Como essa taxa é maior que a taxa vigente no mercado de
ao mês, a melhor opção de compra é pagar o bem à vista por
.
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