Determine, em
, o domínio das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função
em
. Isso significa descobrir todos os valores de
que tornam a função válida. Para isso, vamos usar conceitos de raízes quadradas e funções racionais.
Passo 2
Primeiro, pra função ter valor real, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos a condição:
Além disso, o denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, vamos também garantir que:
Passo 3
Vamos resolver a equação do denominador para encontrar os valores que ele não pode assumir:
Podemos fatorar:
Então,
ou
. Portanto,
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a condição da raiz quadrada:
Isso significa que o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).
Passo 5
Primeiro, fatoramos tanto o numerador quanto o denominador:
Numerador:
Denominador já fatoramos:
Então, a fração fica:
Passo 6
Vamos identificar os pontos críticos onde a expressão muda de sinal:
,
,
, e
.
Dividimos a reta real em intervalos baseados nesses pontos:
Passo 7
Vamos testar cada intervalo para ver onde a condição
é satisfeita.
-
: Escolha
Não satisfaz.
-
: Escolha
Satisfaz.
-
: Escolha
Não satisfaz.
-
: Escolha
Satisfaz.
-
: Escolha
Não satisfaz.
Passo 8
Também precisamos verificar os pontos onde a expressão é igual a zero, ou seja, onde o numerador é zero:
Incluímos
e
no domínio se a fração for maior ou igual a zero.
Testando
:
Aceitamos
.
Testando
:
Aceitamos
.
Resposta
O domínio da função é:
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