Determine, em R, o domínio das seguintes funções. f(x) = raiz((-x^2 + 1) / (x^2 - 2*x - 15))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função em . Isso significa descobrir todos os valores de que tornam a função válida. Para isso, vamos usar conceitos de raízes quadradas e funções racionais.

Passo 2

Primeiro, pra função ter valor real, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos a condição:
Além disso, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, vamos também garantir que:

Passo 3

Vamos resolver a equação do denominador para encontrar os valores que ele não pode assumir:
Podemos fatorar:
Então, ou . Portanto, e .

Passo 4

Agora, vamos analisar a condição da raiz quadrada:
Isso significa que o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).

Passo 5

Primeiro, fatoramos tanto o numerador quanto o denominador:
Numerador:
Denominador já fatoramos:
Então, a fração fica:

Passo 6

Vamos identificar os pontos críticos onde a expressão muda de sinal: , , , e .
Dividimos a reta real em intervalos baseados nesses pontos:

Passo 7

Vamos testar cada intervalo para ver onde a condição é satisfeita.
  1. : Escolha
Não satisfaz.
  1. : Escolha
Satisfaz.
  1. : Escolha
Não satisfaz.
  1. : Escolha
Satisfaz.
  1. : Escolha
Não satisfaz.

Passo 8

Também precisamos verificar os pontos onde a expressão é igual a zero, ou seja, onde o numerador é zero:
Incluímos e no domínio se a fração for maior ou igual a zero.
Testando :
Aceitamos .
Testando :
Aceitamos .

Resposta

O domínio da função é:

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