Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a função integral , onde . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente no manuseio de funções com valor absoluto. Vamos precisar entender como a função se comporta para diferentes valores de e, assim, poder integrar de forma adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . O valor absoluto faz com que a expressão dentro dele seja sempre positiva ou zero. Então, precisamos identificar quando é positivo ou negativo:
Quando : é positivo, então .
Quando : é negativo ou zero, então .
Isso significa que a função muda de expressão no ponto . Vamos usar essa informação para dividir a integral em partes mais fáceis de resolver.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral . Precisamos considerar dois casos diferentes:
Quando :
Neste caso, todo o intervalo de integração está onde , então usamos .
A integral fica: .
Quando :
Aqui, o intervalo de integração está onde , então usamos .
A integral fica: .
Vamos resolver cada caso separadamente.
Passo 4
Caso 1:
Calculamos a integral :
Então, para , temos:
Passo 5
Caso 2:
Calculamos a integral . Como o limite superior é menor que o inferior, podemos reescrever a integral invertendo os limites e mudando o sinal: