Berechnen Sie für die Integralfunktion .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a função integral , onde . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente no manuseio de funções com valor absoluto. Vamos precisar entender como a função se comporta para diferentes valores de e, assim, poder integrar de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O valor absoluto faz com que a expressão dentro dele seja sempre positiva ou zero. Então, precisamos identificar quando é positivo ou negativo:
  • Quando : é positivo, então .
  • Quando : é negativo ou zero, então .
Isso significa que a função muda de expressão no ponto . Vamos usar essa informação para dividir a integral em partes mais fáceis de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral . Precisamos considerar dois casos diferentes:
  1. Quando :
    • Neste caso, todo o intervalo de integração está onde , então usamos .
    • A integral fica: .
  2. Quando :
    • Aqui, o intervalo de integração está onde , então usamos .
    • A integral fica: .
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 4

Caso 1:
Calculamos a integral :
Então, para , temos:

Passo 5

Caso 2:
Calculamos a integral . Como o limite superior é menor que o inferior, podemos reescrever a integral invertendo os limites e mudando o sinal:
Então, para , temos:

Resposta

A função integral é dada por:

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