Berechnen Sie für
die Integralfunktion
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a função integral
, onde
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente no manuseio de funções com valor absoluto. Vamos precisar entender como a função
se comporta para diferentes valores de
e, assim, poder integrar de forma adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. O valor absoluto faz com que a expressão dentro dele seja sempre positiva ou zero. Então, precisamos identificar quando
é positivo ou negativo:
- Quando
: é positivo, então . - Quando
: é negativo ou zero, então .
Isso significa que a função
muda de expressão no ponto
. Vamos usar essa informação para dividir a integral em partes mais fáceis de resolver.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
. Precisamos considerar dois casos diferentes:
-
Quando
: - Neste caso, todo o intervalo de integração está onde
, então usamos . - A integral fica:
.
- Neste caso, todo o intervalo de integração está onde
-
Quando
: - Aqui, o intervalo de integração está onde
, então usamos . - A integral fica:
.
- Aqui, o intervalo de integração está onde
Vamos resolver cada caso separadamente.
Passo 4
Caso 1:
Calculamos a integral
:
Então, para
, temos:
Passo 5
Caso 2:
Calculamos a integral
. Como o limite superior é menor que o inferior, podemos reescrever a integral invertendo os limites e mudando o sinal:
Então, para
, temos:
Resposta
A função integral
é dada por: