Berechnen Sie für h(t)=|1-t| die Integralfunktion H(x)=integral1^x h(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a função integral , onde . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente no manuseio de funções com valor absoluto. Vamos precisar entender como a função se comporta para diferentes valores de e, assim, poder integrar de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O valor absoluto faz com que a expressão dentro dele seja sempre positiva ou zero. Então, precisamos identificar quando é positivo ou negativo:
  • Quando : é positivo, então .
  • Quando : é negativo ou zero, então .
Isso significa que a função muda de expressão no ponto . Vamos usar essa informação para dividir a integral em partes mais fáceis de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral . Precisamos considerar dois casos diferentes:
  1. Quando :
    • Neste caso, todo o intervalo de integração está onde , então usamos .
    • A integral fica: .
  2. Quando :
    • Aqui, o intervalo de integração está onde , então usamos .
    • A integral fica: .
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 4

Caso 1: H(x) &= integral1^x (t - 1) , dt &= [ 12t^2 - t ]1^x &= ( 12x^2 - x ) - ( 12(1)^2 - 1 ) &= ( 12x^2 - x ) - ( 12 - 1 ) &= 12x^2 - x + 12 &= 12(x^2 - 2x + 1) &= 12(x - 1)^2
Calculamos a integral H(x) = 12(x - 1)^2 :
Então, para , temos:

Passo 5

Caso 2: H(x) &= integral1^x (1 - t) , dt &= -integralx^1 (1 - t) , dt &= -[ t - 12t^2 ]x^1 &= -( (1 - 12(1)^2) - (x - 12x^2) ) &= -( (1 - 12) - x + 12x^2 ) &= -( 12 - x + 12x^2 ) &= -12 + x - 12x^2 &= 12x^2 - x + 12 &= -12(x^2 - 2x + 1) &= -12(x - 1)^2
Calculamos a integral H(x) = -12(x - 1)^2 . Como o limite superior é menor que o inferior, podemos reescrever a integral invertendo os limites e mudando o sinal:
Então, para , temos:

Resposta

A função integral H(x) = 12(x - 1)^2, & se x >= 1 -12(x - 1)^2, & se x < 1 é dada por:

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