Von den folgenden, durch Integrale definierte Funktionen sind die erste und die zweite Ableitung zu berechnen:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por um integral:
Nosso objetivo aqui é encontrar a primeira e a segunda derivada dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, ou seja,
.
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por um integral de
até
:
Então a derivada dessa função é simplesmente a função integranda avaliada em
:
No nosso caso,
. Aplicando o teorema:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada,
, que é a derivada de
.
Já sabemos que:
Para derivar
, precisamos usar a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Nesse caso, temos
, onde
.
A derivada da função
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.
Aplicando a Regra da Cadeia:
Resposta
A primeira derivada de
é
e a segunda derivada é
.