Von den folgenden, durch Integrale definierte Funktionen sind die erste und die zweite Ableitung zu berechnen:
F(x)=integral0^x e^s^2 d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por um integral:
F(x) = integral0^x e^s^2 , ds
Nosso objetivo aqui é encontrar a primeira e a segunda derivada dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de F(x) = integrala^x f(s) , ds , ou seja, F'(x) = f(x) .
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por um integral de F'(x) = e^x^2 até :
Então a derivada dessa função é simplesmente a função integranda avaliada em :
No nosso caso, . Aplicando o teorema:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, F'(x) = e^x^2 , que é a derivada de F''(x) = ddx ( e^x^2 ) = e^x^2 cdot 2x = 2x , e^x^2 .
Já sabemos que:
Para derivar , precisamos usar a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Nesse caso, temos , onde .
A derivada da função em relação a é , e a derivada de em relação a é .
Aplicando a Regra da Cadeia:

Resposta

A primeira derivada de é e a segunda derivada é .

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