Esboce o gráfico (use as ferramentas que você aprendeu em sala de aula), dê o domínio e a imagem da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função dada, que é dividida em duas partes: uma parte linear e uma parte logarítmica. Além de desenhar o gráfico, também vamos descobrir qual é o domínio (todos os valores de
que a função aceita) e a imagem (todos os valores de
que a função pode produzir). Para isso, vamos usar conhecimentos de funções lineares e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. Olhando para a definição da função:
A parte
está definida para
, e
está definida para
. Portanto, o domínio da função é todos os valores de
que vão de
até
, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os possíveis valores de
.
Para
, a função é
. Quando
,
. E quando
,
. Então, nessa parte da função,
varia de 0 a 2.
Para
, a função é
. O logaritmo natural de
(
) está definido para todos os
e sua imagem é
. Ou seja, conforme
cresce,
também cresce sem limites.
Portanto, a imagem da função é:
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função.
-
Para
: A função é , que é uma reta com inclinação negativa que passa pelos pontos e . -
Para
: A função é , que é a típica curva do logaritmo natural. Ela passa por e cresce lentamente à medida que aumenta. -
Ponto de Transição: Em
, a função muda de para . No entanto, não está definido, então o gráfico terá uma quebra nesse ponto. O valor está incluído na primeira parte da função.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Gráfico: Consiste de uma reta decrescente de
a , e a curva do logaritmo natural para , começando em e crescendo à direita.