Von den folgenden, durch Integrale definierte Funktionen sind die erste und die zweite Ableitung zu berechnen:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a primeira e a segunda derivada da função
. Aqui, estamos lidando com integrais definidas e derivadas. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, ou seja,
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral como essa, a derivada dela em relação a
é a função integranda avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior.
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 4
Com a primeira derivada em mãos, vamos agora encontrar a segunda derivada,
. Para isso, precisamos derivar
em relação a
. Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então,
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (usando a regra da cadeia).
Substituindo de volta:
Resposta
A primeira derivada é
e a segunda derivada é
.