Von den folgenden, durch Integrale definierte Funktionen sind die erste und die zweite Ableitung zu berechnen:
H(x)=integral0^x^2 tan (t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a primeira e a segunda derivada da função . Aqui, estamos lidando com integrais definidas e derivadas. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de H'(x) = ddx ( integral0^x^2 tan(t) , dt ) = tan(x^2) cdot ddx(x^2) , ou seja, . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral como essa, a derivada dela em relação a é a função integranda avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior.
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de ddx(x^2) = 2x em relação a H'(x) = tan(x^2) cdot 2x = 2x tan(x^2) :
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 4

Com a primeira derivada em mãos, vamos agora encontrar a segunda derivada, H''(x) = ddx(2x) cdot tan(x^2) + 2x cdot ddx(tan(x^2)) . Para isso, precisamos derivar em relação a . Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então,

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. A derivada de H''(x) = 2 cdot tan(x^2) + 2x cdot 2x cdot sec^2(x^2) = 2 tan(x^2) + 4x^2 sec^2(x^2) é .
  2. A derivada de é (usando a regra da cadeia).
Substituindo de volta:

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

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