Se é base de , qual é a matriz de mudança de base ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma base do espaço e queremos encontrar a matriz de mudança de base . Para isso, vamos precisar saber o que é uma mudança de base e como representá-la em forma de matriz.

Passo 2

A matriz de mudança de base transforma coordenadas de um vetor de uma base para outra base . No nosso caso, estamos mudando de para mesma.

Passo 3

Quando mudamos uma base para ela mesma, cada vetor da base permanece igual. Isso significa que a matriz de mudança de base será a matriz identidade, que tem 1s na diagonal principal e 0s nas demais posições.

Resposta

Portanto, a matriz de mudança de base é a matriz identidade de ordem 3:

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Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles.
Uma matriz quadrada é dita triangular superior se , quando . Dizemos que é triangular inferior se , quando . Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos , isto é, . (i) Se é uma matriz simétrica de ordem , então .
Em cada caso, determine , sabendo que:
é sobrejetora, e .
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços: