Uma matriz quadrada
é dita triangular superior se
, quando
. Dizemos que
é triangular inferior se
, quando
. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos
, isto é,
. (i) Se
é uma matriz simétrica de ordem
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre matrizes quadradas e algumas características delas, como serem triangulares superiores ou inferiores, e também sobre matrizes diagonais. A parte que vamos focar agora é sobre matrizes simétricas. O que precisamos saber para resolver isso é o que é uma matriz simétrica e o que significa a transposta de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz simétrica. Uma matriz quadrada
é chamada de simétrica quando ela é igual à sua transposta. Ou seja,
, onde
é a matriz transposta de
. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Passo 3
Agora, vamos entender a transposta. Se você tem uma matriz
, a transposta
é uma nova matriz onde o elemento que estava na posição
em
passa para a posição
em
. Por exemplo, se
está em
, ele vai para
em
.
Passo 4
Com isso em mente, se a matriz
é simétrica, isso significa que para todo
e
, temos que
. Ou seja, cada elemento está espelhado em relação à diagonal principal da matriz.
Passo 5
Então, se
é uma matriz simétrica de ordem
, isso já nos garante que
por definição. Não precisamos fazer mais nada, pois estamos apenas reafirmando a definição de matriz simétrica.
Resposta
Se
é uma matriz simétrica de ordem
, então por definição
.