Uma matriz quadrada A=(ai j)n times n é dita triangular superior se ai j=0, quando i>j. Dizemos que A é triangular inferior se ai j=0, quando i. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos ai i, isto é, i=j. (i) Se A é uma matriz simétrica de ordem n, n in N^*, então A=A^t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre matrizes quadradas e algumas características delas, como serem triangulares superiores ou inferiores, e também sobre matrizes diagonais. A parte que vamos focar agora é sobre matrizes simétricas. O que precisamos saber para resolver isso é o que é uma matriz simétrica e o que significa a transposta de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz simétrica. Uma matriz quadrada é chamada de simétrica quando ela é igual à sua transposta. Ou seja, , onde é a matriz transposta de . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Agora, vamos entender a transposta. Se você tem uma matriz , a transposta é uma nova matriz onde o elemento que estava na posição em passa para a posição em . Por exemplo, se está em , ele vai para em .

Passo 4

Com isso em mente, se a matriz é simétrica, isso significa que para todo e , temos que . Ou seja, cada elemento está espelhado em relação à diagonal principal da matriz.

Passo 5

Então, se é uma matriz simétrica de ordem , isso já nos garante que por definição. Não precisamos fazer mais nada, pois estamos apenas reafirmando a definição de matriz simétrica.

Resposta

Se é uma matriz simétrica de ordem , então por definição .

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