Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, núcleo (ou kernel) e imagem (ou range). Vamos precisar trabalhar com polinômios de até segundo grau e entender derivadas de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de é o conjunto de todos os polinômios em tais que . Em outras palavras, queremos encontrar todos os polinômios que satisfazem .

Passo 3

Vamos escrever um polinômio genérico de segundo grau:
onde são números reais.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas primeira ( ) e segunda ( ) desse polinômio:

Passo 5

Substituindo e na transformação , temos:

Passo 6

Queremos que . Então, igualamos a expressão a zero:

Passo 7

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e o termo constante devem ser zero:

Passo 8

Resolvendo as equações:
  1. implica .
  2. Substituindo na segunda equação: resulta .

Passo 9

Então, temos que e . O termo não aparece na transformação , o que significa que ele pode ser qualquer número real. Portanto, o núcleo de consiste em todos os polinômios constantes.

Passo 10

Agora, vamos determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos a partir de algum em .

Passo 11

Observando a expressão de :
Vemos que é um polinômio de primeiro grau no máximo, já que não há termo com . Assim, a imagem de é o conjunto de todos os polinômios de primeiro grau.

Passo 12

Para formalizar, a imagem de é:
Ou seja, todos os polinômios da forma , onde são números reais.

Passo 13

Agora, vamos encontrar uma base para o núcleo e para a imagem.
Para o núcleo:
Como o núcleo consiste em todos os polinômios constantes, podemos usar o polinômio constante como base.
Para a imagem:
Como a imagem consiste em todos os polinômios de primeiro grau, uma base pode ser , já que qualquer polinômio de primeiro grau pode ser escrito como combinação linear desses dois.

Resposta

  • Núcleo de : Todos os polinômios constantes, ou seja, .
    • Base do Núcleo: .
  • Imagem de : Todos os polinômios de primeiro grau, ou seja, .
    • Base da Imagem: .

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