Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear
definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, núcleo (ou kernel) e imagem (ou range). Vamos precisar trabalhar com polinômios de até segundo grau e entender derivadas de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios
em
tais que
. Em outras palavras, queremos encontrar todos os polinômios
que satisfazem
.
Passo 3
Vamos escrever um polinômio genérico de segundo grau:
onde
são números reais.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas primeira (
) e segunda (
) desse polinômio:
Passo 5
Substituindo
e
na transformação
, temos:
Passo 6
Queremos que
. Então, igualamos a expressão a zero:
Passo 7
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e o termo constante devem ser zero:
Passo 8
Resolvendo as equações:
-
implica . - Substituindo
na segunda equação: resulta .
Passo 9
Então, temos que
e
. O termo
não aparece na transformação
, o que significa que ele pode ser qualquer número real. Portanto, o núcleo de
consiste em todos os polinômios constantes.
Passo 10
Agora, vamos determinar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os polinômios
que podem ser obtidos a partir de algum
em
.
Passo 11
Observando a expressão de
:
Vemos que
é um polinômio de primeiro grau no máximo, já que não há termo com
. Assim, a imagem de
é o conjunto de todos os polinômios de primeiro grau.
Passo 12
Para formalizar, a imagem de
é:
Ou seja, todos os polinômios da forma
, onde
são números reais.
Passo 13
Agora, vamos encontrar uma base para o núcleo e para a imagem.
Para o núcleo:
Como o núcleo consiste em todos os polinômios constantes, podemos usar o polinômio constante como base.
Como o núcleo consiste em todos os polinômios constantes, podemos usar o polinômio constante
Para a imagem:
Como a imagem consiste em todos os polinômios de primeiro grau, uma base pode ser , já que qualquer polinômio de primeiro grau pode ser escrito como combinação linear desses dois.
Como a imagem consiste em todos os polinômios de primeiro grau, uma base pode ser
Resposta
-
Núcleo de
: Todos os polinômios constantes, ou seja, . - Base do Núcleo:
.
- Base do Núcleo:
-
Imagem de
: Todos os polinômios de primeiro grau, ou seja, . - Base da Imagem:
.
- Base da Imagem:
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Uma matriz quadrada
é dita triangular superior se
, quando
. Dizemos que
é triangular inferior se
, quando
. Um matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é formada pelos elementos
, isto é,
. (i) Se
é uma matriz simétrica de ordem
, então
.
Classifique as seguintes transformações lineares como injetoras, sobrejetoras e/ou bijetoras:
dada por
.
Se
é base de
, qual é a matriz de mudança de base
?
Em cada caso, determine
, sabendo que:
é sobrejetora,
e
.