Em cada caso, determine , sabendo que:
é sobrejetora, e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma transformação linear que é sobrejetora (ou seja, toda imagem em é alcançada por algum vetor em ). Sabemos também que a dimensão de é 5 e a dimensão de é 3. Nosso objetivo é encontrar a dimensão do núcleo de , que é . Para isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Núcleo e da Imagem. Esse teorema nos diz que:
Aqui, é a dimensão do espaço de partida, é a dimensão do núcleo de , e é a dimensão da imagem de .

Passo 3

Como é sobrejetora, isso significa que a imagem de é todo o espaço . Portanto, .

Passo 4

Sabemos que . Então, substituindo na equação do teorema:

Passo 5

Agora, é só resolver a equação para encontrar :

Resposta

A dimensão do núcleo de é .

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Se é base de , qual é a matriz de mudança de base ?
Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles.
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
Em cada caso, determine , sabendo que:
é bijetora.