Em cada caso, determine
, sabendo que:
é sobrejetora,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma transformação linear
que é sobrejetora (ou seja, toda imagem em
é alcançada por algum vetor em
). Sabemos também que a dimensão de
é 5 e a dimensão de
é 3. Nosso objetivo é encontrar a dimensão do núcleo de
, que é
. Para isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Núcleo e da Imagem. Esse teorema nos diz que:
Aqui,
é a dimensão do espaço de partida,
é a dimensão do núcleo de
, e
é a dimensão da imagem de
.
Passo 3
Como
é sobrejetora, isso significa que a imagem de
é todo o espaço
. Portanto,
.
Passo 4
Sabemos que
. Então, substituindo na equação do teorema:
Passo 5
Agora, é só resolver a equação para encontrar
:
Resposta
A dimensão do núcleo de
é
.
Exercícios relacionados
Se
é base de
, qual é a matriz de mudança de base
?
Encontre o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo, e determine uma base para cada um deles.
Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
Em cada caso, determine
, sabendo que:
é bijetora.