Determine as matrizes das transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma transformação linear que vai de para e é definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação linear em relação às bases canônicas de e . Para isso, vamos precisar entender o que são transformações lineares, bases canônicas e como elas se relacionam com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função que respeita duas propriedades importantes: a aditividade e a homogeneidade. Ou seja, para todo em e todo escalar , temos:
Essas propriedades garantem que a transformação se comporta de maneira “linear”.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que é uma base canônica. Em , a base canônica é simplesmente o conjunto . Em , a base canônica é o conjunto de vetores , onde:
Esses vetores servem como “padrão” para construir qualquer outro vetor no espaço.

Passo 4

Para encontrar a matriz que representa a transformação linear , precisamos ver como age sobre os vetores da base canônica de . Já que a base de é , vamos calcular :
Esse vetor é a imagem de 1 pela transformação .

Passo 5

A matriz que representa terá como colunas as coordenadas das imagens dos vetores da base de na base de . Como temos apenas um vetor na base de (que é 1), a matriz será uma matriz com o vetor como única coluna:
Essa é a matriz que representa a transformação linear nas bases canônicas dadas.

Resposta

A matriz que representa a transformação linear em relação às bases canônicas de e é:

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Em cada caso, determine , sabendo que:
é sobrejetora, e .
Se é base de , qual é a matriz de mudança de base ?
Em cada caso, determine , sabendo que:
é bijetora.
Dadas as transformações lineares , assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas: injetiva injetiva.