Se
é obtida de
, a base canônica de
, pela rotação por um ângulo
, determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases no espaço
: a base canônica
e uma nova base
que foi obtida rotacionando
por um ângulo de
. O que pedem é para a gente encontrar as matrizes de mudança de base
e
. Para isso, vamos precisar entender como se faz a rotação de vetores e como construir as matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma rotação no plano
por um ângulo
é feita usando a matriz de rotação:
No nosso caso,
. Vamos calcular os valores de
e
.
Passo 3
Sabemos que:
Então, a matriz de rotação fica:
Passo 4
A matriz de mudança de base
é justamente essa matriz de rotação, porque ela transforma coordenadas da base
para a base
. Portanto:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos da matriz inversa de
. Mas para matrizes de rotação, a inversa é igual à transposta. Então, vamos transpor a matriz de rotação:
Resposta
As matrizes de mudança de base são: