Se beta^prime é obtida de beta, a base canônica de R^2, pela rotação por um ângulo pi6, determine [I]beta^prime^beta e [I]beta^beta^prime.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases no espaço : a base canônica e uma nova base que foi obtida rotacionando por um ângulo de . O que pedem é para a gente encontrar as matrizes de mudança de base e . Para isso, vamos precisar entender como se faz a rotação de vetores e como construir as matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma rotação no plano R(theta) = costheta & -sintheta sintheta & costheta por um ângulo é feita usando a matriz de rotação:
No nosso caso, . Vamos calcular os valores de e .

Passo 3

Sabemos que:
cospi6 = raiz32 e sinpi6 = 12
Então, a matriz de rotação fica:
R(pi6) = raiz32 & -12 12 & raiz32

Passo 4

A matriz de mudança de base [I]beta'^beta = R(pi6) = raiz32 & -12 12 & raiz32 é justamente essa matriz de rotação, porque ela transforma coordenadas da base para a base . Portanto:

Passo 5

Para encontrar [I]beta^beta' = R(pi6)^T = raiz32 & 12 -12 & raiz32 , precisamos da matriz inversa de . Mas para matrizes de rotação, a inversa é igual à transposta. Então, vamos transpor a matriz de rotação:

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
[I]beta'^beta = raiz32 & -12 12 & raiz32 e [I]beta^beta' = raiz32 & 12 -12 & raiz32

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