Se é obtida de , a base canônica de , pela rotação por um ângulo , determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases no espaço : a base canônica e uma nova base que foi obtida rotacionando por um ângulo de . O que pedem é para a gente encontrar as matrizes de mudança de base e . Para isso, vamos precisar entender como se faz a rotação de vetores e como construir as matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma rotação no plano por um ângulo é feita usando a matriz de rotação:
No nosso caso, . Vamos calcular os valores de e .

Passo 3

Sabemos que:
Então, a matriz de rotação fica:

Passo 4

A matriz de mudança de base é justamente essa matriz de rotação, porque ela transforma coordenadas da base para a base . Portanto:

Passo 5

Para encontrar , precisamos da matriz inversa de . Mas para matrizes de rotação, a inversa é igual à transposta. Então, vamos transpor a matriz de rotação:

Resposta

As matrizes de mudança de base são:

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Considere o subespaço de que é o plano de equação .
Determine uma base ortonormal de .
Sejam e bases ordenadas de . Determine e . Quais são as coordenadas do vetor em relação às bases e ?
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: e .
Identi car a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do grá co.
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