Considere o subespaço de que é o plano de equação .
Determine uma base ortonormal de .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um subespaço de que é definido pelo plano de equação . Nosso objetivo é encontrar uma base ortonormal para , ou seja, dois vetores que estejam dentro desse plano, que sejam mutuamente perpendiculares e que cada um tenha norma igual a 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como bases, ortogonalização e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos achar uma base para o subespaço . Para isso, precisamos encontrar vetores que satisfaçam a equação do plano . Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher e como livres e expressar em função delas.
Resolvendo a equação para :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Portanto, podemos escolher os vetores e como uma base para .
Passo 3
Agora que temos uma base para , precisamos transformá-la em uma base ortonormal. Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a ortogonalizar e, em seguida, normalizar os vetores.
Primeiro, mantemos :
Depois, vamos tornar ortogonal a :
Calculando o produto interno :
E :
Então:
Passo 4
Agora, vamos normalizar os vetores e para obter uma base ortonormal.
Primeiro, calculamos a norma de :
Então, o vetor ortonormal correspondente a é:
Agora, calculamos a norma de :
Convertendo para denominadores iguais:
Portanto, o vetor ortonormal correspondente a é aproximadamente: