Considere o subespaço W de ^3 que é o plano de equação 2 x+y 3 z=0.
Determine uma base ortonormal u, u2 de W.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um subespaço de que é definido pelo plano de equação . Nosso objetivo é encontrar uma base ortonormal para , ou seja, dois vetores que estejam dentro desse plano, que sejam mutuamente perpendiculares e que cada um tenha norma igual a 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como bases, ortogonalização e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos achar uma base para o subespaço 2x + y - 3z = 0 implies 3z = 2x + y implies z = 2x + y3 . Para isso, precisamos encontrar vetores que satisfaçam a equação do plano x y 2x + y3 = x 1 0 23 + y 0 1 13 . Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher 1 0 23 e 0 1 13 como livres e expressar em função delas.
Resolvendo a equação para :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Portanto, podemos escolher os vetores e como uma base para .

Passo 3

Agora que temos uma base para u1 = 1 0 23 , precisamos transformá-la em uma base ortonormal. Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a ortogonalizar e, em seguida, normalizar os vetores.
Primeiro, mantemos u2' = v2 - v2 cdot u1u1 cdot u1 u1 :
v2 cdot u1 = 0 cdot 1 + 1 cdot 0 + 13 cdot 23 = 29
Depois, vamos tornar u1 cdot u1 = 1^2 + 0^2 + ( 23 )^2 = 1 + 0 + 49 = 139 ortogonal a u2' = 0 1 13 - 29139 1 0 23 = 0 1 13 - 213 1 0 23 = -213 1 13 - 439 = -213 1 1139 :
Calculando o produto interno :
E :
Então:

Passo 4

Agora, vamos normalizar os vetores |u1| = raiz1^2 + 0^2 + ( 23 )^2 = raiz1 + 0 + 49 = raiz139 = raiz133 e e1 = u1|u1| = 3raiz13 1 0 23 = 3raiz13 0 2raiz13 para obter uma base ortonormal.
Primeiro, calculamos a norma de |u2'| = raiz( -213 )^2 + 1^2 + ( 1139 )^2 = raiz4169 + 1 + 1211521 = raiz4169 + 169169 + 1211521 :
= raiz4 + 169 + 121 times 1691521169 = raiz173 + 204491521169 = raiz173 times 1521 + 204491521 times 169 = raiz263133 + 20449256,971 = raiz283,582256,971 approx raiz1.103 approx 1.05
Então, o vetor ortonormal correspondente a e2 = u2'|u2'| approx 11.05 -213 1 1139 approx -0.15 0.95 0.28 é:
Agora, calculamos a norma de :
Convertendo para denominadores iguais:
Portanto, o vetor ortonormal correspondente a é aproximadamente:

Resposta

Uma base ortonormal de dfrac3raiz13 0 dfrac2raiz13 , -0.15 0.95 0.28 é dada por:

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