Sejam
e
bases ordenadas de
. Determine
e
. Quais são as coordenadas do vetor
em relação às bases
e
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós temos duas bases ordenadas de
:
-
— que é a base padrão. -
A questão quer que a gente determine as matrizes de mudança de base
e
, além das coordenadas do vetor
em relação a essas bases. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como bases, coordenas de vetores em diferentes bases e matrizes de mudança de base.
Passo 2
Matriz de Mudança de Base
A matriz de mudança de base
transforma coordenadas de um vetor da base
para a base
. Para encontrá-la, precisamos expressar cada vetor da base
em termos da base
.
Os vetores de
são
e
. Como
é a base padrão, esses vetores já estão nas suas coordenadas padrão.
Então, a matriz
é formada pelos vetores de
escritos em colunas:
Passo 3
Matriz de Mudança de Base
Agora, queremos a matriz que faz o contrário: transforma coordenadas de
para
. Para isso, precisamos encontrar a inversa da matriz
.
Primeiro, calculamos o determinante da matriz
:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. A inversa de uma matriz
é:
Aplicando isso:
Passo 4
Coordenadas do Vetor
na Base
Como
é a base padrão, as coordenadas de
em
são simplesmente os próprios componentes do vetor:
Passo 5
Coordenadas do Vetor
na Base
Para encontrar
, usamos a matriz de mudança de base
:
Multiplicando as matrizes:
[
\cdot
]
Resposta
As coordenadas do vetor
são:
Exercícios relacionados
Considere os planos
.
Determine a equação da reta .
Determine a equação da reta
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
e
Considere o subespaço
de
que é o plano de equação
.
Determine uma base ortonormal de
.
Determine uma base ortonormal
Se
é obtida de
, a base canônica de
, pela rotação por um ângulo
, determine
e
.