Sejam e bases ordenadas de . Determine e . Quais são as coordenadas do vetor em relação às bases e ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós temos duas bases ordenadas de :
  • — que é a base padrão.
A questão quer que a gente determine as matrizes de mudança de base e , além das coordenadas do vetor em relação a essas bases. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como bases, coordenas de vetores em diferentes bases e matrizes de mudança de base.

Passo 2

Matriz de Mudança de Base
A matriz de mudança de base transforma coordenadas de um vetor da base para a base . Para encontrá-la, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .
Os vetores de são e . Como é a base padrão, esses vetores já estão nas suas coordenadas padrão.
Então, a matriz é formada pelos vetores de escritos em colunas:

Passo 3

Matriz de Mudança de Base
Agora, queremos a matriz que faz o contrário: transforma coordenadas de para . Para isso, precisamos encontrar a inversa da matriz .
Primeiro, calculamos o determinante da matriz :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. A inversa de uma matriz é:
Aplicando isso:

Passo 4

Coordenadas do Vetor na Base
Como é a base padrão, as coordenadas de em são simplesmente os próprios componentes do vetor:

Passo 5

Coordenadas do Vetor na Base
Para encontrar , usamos a matriz de mudança de base :
Multiplicando as matrizes:

[

\cdot


]

Resposta

As coordenadas do vetor são:

Exercícios relacionados

Considere os planos .
Determine a equação da reta .
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
e
Considere o subespaço de que é o plano de equação .
Determine uma base ortonormal de .
Se é obtida de , a base canônica de , pela rotação por um ângulo , determine e .