Sejam beta1=(1,0),(0,1) e beta2=(1,1),(2,1) bases ordenadas de R^2. Determine [I]beta1^beta2 e [I]beta2^beta1. Quais são as coordenadas do vetor v=(-3,2) em relação às bases beta1 e beta2 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós temos duas bases ordenadas de :
  • — que é a base padrão.
A questão quer que a gente determine as matrizes de mudança de base e , além das coordenadas do vetor em relação a essas bases. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como bases, coordenas de vetores em diferentes bases e matrizes de mudança de base.

Passo 2

Matriz de Mudança de Base [I]beta1^beta2 = 1 & 2 1 & 1
A matriz de mudança de base transforma coordenadas de um vetor da base para a base . Para encontrá-la, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .
Os vetores de são e . Como é a base padrão, esses vetores já estão nas suas coordenadas padrão.
Então, a matriz é formada pelos vetores de escritos em colunas:

Passo 3

Matriz de Mudança de Base det = (1)(1) - (2)(1) = 1 - 2 = -1 neq 0
Agora, queremos a matriz que faz o contrário: transforma coordenadas de a & b c & d para 1det d & -b -c & a . Para isso, precisamos encontrar a inversa da matriz [I]beta2^beta1 = 1-1 1 & -2 -1 & 1 = -1 & 2 1 & -1 .
Primeiro, calculamos o determinante da matriz :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. A inversa de uma matriz é:
Aplicando isso:

Passo 4

Coordenadas do Vetor [v]beta1 = -3 2 na Base
Como é a base padrão, as coordenadas de em são simplesmente os próprios componentes do vetor:

Passo 5

Coordenadas do Vetor [v]beta2 = [I]beta2^beta1 cdot [v]beta1 na Base -1 & 2 1 & -1 cdot -3 2 = (-1)(-3) + (2)(2) (1)(-3) + (-1)(2) = 3 + 4 -3 -2 = 7 -5
Para encontrar , usamos a matriz de mudança de base :
Multiplicando as matrizes:

[

\cdot


]

Resposta

[I]beta1^beta2 = 1 & 2 1 & 1 , [I]beta2^beta1 = -1 & 2 1 & -1
As coordenadas do vetor [v]beta1 = -3 2 , [v]beta2 = 7 -5 são:

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