Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais. O primeiro conjunto é , que é o conjunto de todos os pares de números reais. O segundo conjunto é , que consiste em pares onde a segunda coordenada é o valor absoluto da primeira. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um subespaço vetorial e aplicar as condições necessárias para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: .
  2. Fechado sob adição: Se , então .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então .
Vamos usar essas condições para verificar se e são subespaços vetoriais.

Passo 3

Primeiro, vamos analisar . Esse é o próprio espaço vetorial de dimensão 2, ou seja, o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Vamos verificar as três condições:
  1. Contém o vetor zero: Sim, .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então .
Todas as condições são satisfeitas, então é, de fato, um subespaço vetorial de si mesmo.

Passo 4

Agora, vamos analisar o conjunto . Esse conjunto contém pares onde a segunda coordenada é o valor absoluto da primeira. Vamos verificar as três condições:
  1. Contém o vetor zero: Sim, se , então .
  2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores quaisquer em , digamos e . A soma deles é . Para que seja fechado sob adição, precisamos que . Mas isso nem sempre é verdade. Por exemplo, se e , então e . Como 2 ≠ 0, a condição de fechamento sob adição não é satisfeita.
Como a segunda condição já não é atendida, não precisamos verificar a terceira. Portanto, não é um subespaço vetorial.

Resposta

O conjunto é um subespaço vetorial, enquanto o conjunto não é um subespaço vetorial.

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.
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