Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais. O primeiro conjunto é
, que é o conjunto de todos os pares de números reais. O segundo conjunto é
, que consiste em pares onde a segunda coordenada é o valor absoluto da primeira. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um subespaço vetorial e aplicar as condições necessárias para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero:
. - Fechado sob adição: Se
, então . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então .
Vamos usar essas condições para verificar se
e
são subespaços vetoriais.
Passo 3
Primeiro, vamos analisar
. Esse é o próprio espaço vetorial de dimensão 2, ou seja, o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Vamos verificar as três condições:
- Contém o vetor zero: Sim,
. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então .
Todas as condições são satisfeitas, então
é, de fato, um subespaço vetorial de si mesmo.
Passo 4
Agora, vamos analisar o conjunto
. Esse conjunto contém pares onde a segunda coordenada é o valor absoluto da primeira. Vamos verificar as três condições:
- Contém o vetor zero: Sim, se
, então . - Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, digamos e . A soma deles é . Para que seja fechado sob adição, precisamos que . Mas isso nem sempre é verdade. Por exemplo, se e , então e . Como 2 ≠ 0, a condição de fechamento sob adição não é satisfeita.
Como a segunda condição já não é atendida, não precisamos verificar a terceira. Portanto,
não é um subespaço vetorial.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial, enquanto o conjunto
não é um subespaço vetorial.
Exercícios relacionados
Se
é obtida de
, a base canônica de
, pela rotação por um ângulo
, determine
e
.
Considere o subespaço
de
que é o plano de equação
.
Determine uma base ortonormal de
.
Determine uma base ortonormal
Identi car a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do grá co.
.
Considere o plano de equação
e a reta
de equação
.
Determine o plano que contém e que é perpendicular a .
Determine o plano que contém