Identi car a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do grá co.
.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação de uma cônica:
O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve identificação e transformação de cônicas, especificamente transformações de coordenadas para simplificar a equação e identificar o tipo da cônica. Precisaremos aplicar a rotação de eixos para eliminar o termo e assim facilitar a identificação da cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que temos. Para isso, usamos o discriminante da equação geral de uma cônica:
Onde na nossa equação:
Calculando o discriminante:
Quando o discriminante é zero, a cônica é uma parábola.

Passo 3

Agora, vamos eliminar o termo usando a rotação de coordenadas. A fórmula para a rotação de eixos é baseada no ângulo que satisfaz:
Substituindo os valores:
Isso nos dá:
Portanto, vamos rotacionar os eixos no sentido horário para eliminar o termo .

Passo 4

Após a rotação, as novas coordenadas e estão relacionadas com e por:
Com , temos:
Substituindo na equação original e simplificando, vamos obter uma equação sem o termo .

Passo 5

Após simplificar, a equação na nova coordenada será:
Vamos reorganizar os termos para chegar à forma padrão da parábola na nova coordenada, o que facilita o esboço do gráfico.

Resposta

A equação da cônica no sistema de coordenadas rotacionado é uma parábola representada por:
Com os valores de , e determinados após a simplificação. O esboço do gráfico é uma parábola aberta na direção determinada pelos sinais dos coeficientes, posicionada no novo sistema de coordenadas.

Exercícios relacionados

Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: e .
Se é obtida de , a base canônica de , pela rotação por um ângulo , determine e .
Considere o plano de equação e a reta de equação .
Determine o plano que contém e que é perpendicular a .
Considere os planos .
Dê um exemplo de um plano perpendicular a e a .