Identi car a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do grá co.
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação de uma cônica:
O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve identificação e transformação de cônicas, especificamente transformações de coordenadas para simplificar a equação e identificar o tipo da cônica. Precisaremos aplicar a rotação de eixos para eliminar o termo
e assim facilitar a identificação da cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que temos. Para isso, usamos o discriminante da equação geral de uma cônica:
Onde na nossa equação:
Calculando o discriminante:
Quando o discriminante é zero, a cônica é uma parábola.
Passo 3
Agora, vamos eliminar o termo
usando a rotação de coordenadas. A fórmula para a rotação de eixos é baseada no ângulo
que satisfaz:
Substituindo os valores:
Isso nos dá:
Portanto, vamos rotacionar os eixos
no sentido horário para eliminar o termo
.
Passo 4
Após a rotação, as novas coordenadas
e
estão relacionadas com
e
por:
Com
, temos:
Substituindo na equação original e simplificando, vamos obter uma equação sem o termo
.
Passo 5
Após simplificar, a equação na nova coordenada será:
Vamos reorganizar os termos para chegar à forma padrão da parábola na nova coordenada, o que facilita o esboço do gráfico.
Resposta
A equação da cônica no sistema de coordenadas rotacionado é uma parábola representada por:
Com os valores de
,
e
determinados após a simplificação. O esboço do gráfico é uma parábola aberta na direção determinada pelos sinais dos coeficientes, posicionada no novo sistema de coordenadas.
Exercícios relacionados
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais:
e
.
Se
é obtida de
, a base canônica de
, pela rotação por um ângulo
, determine
e
.
Considere o plano de equação
e a reta
de equação
.
Determine o plano que contém e que é perpendicular a .
Determine o plano que contém
Considere os planos
.
Dê um exemplo de um plano perpendicular a e a .
Dê um exemplo de um plano perpendicular a e a