Identi car a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do grá co.
x^2+2 raiz3 x y+3 y^2+2 raiz3 x 2 y=4.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação de uma cônica:
x^2 + 2 raiz3 xy + 3 y^2 + 2 raiz3 x - 2 y = 4
O conteúdo que vamos utilizar aqui envolve identificação e transformação de cônicas, especificamente transformações de coordenadas para simplificar a equação e identificar o tipo da cônica. Precisaremos aplicar a rotação de eixos para eliminar o termo e assim facilitar a identificação da cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que temos. Para isso, usamos o discriminante da equação geral de uma cônica:
B^2 - 4AC
Onde na nossa equação:
A = 1
B = 2raiz3
C = 3
Calculando o discriminante:
(2raiz3)^2 - 4 times 1 times 3 = 12 - 12 = 0
Quando o discriminante é zero, a cônica é uma parábola.

Passo 3

Agora, vamos eliminar o termo tan(2theta) = BA - C usando a rotação de coordenadas. A fórmula para a rotação de eixos é baseada no ângulo tan(2theta) = 2raiz31 - 3 = 2raiz3-2 = -raiz3 que satisfaz:
2theta = -60^circ
Substituindo os valores:
theta = -30^circ
Isso nos dá:
Portanto, vamos rotacionar os eixos no sentido horário para eliminar o termo .

Passo 4

Após a rotação, as novas coordenadas x = x' costheta - y' sintheta y = x' sintheta + y' costheta e cos(-30^circ) = raiz32, sin(-30^circ) = -12 estão relacionadas com e por:
Com , temos:
Substituindo na equação original e simplificando, vamos obter uma equação sem o termo .

Passo 5

Após simplificar, a equação na nova coordenada será:
a x'^2 + b y'^2 + c x' + d y' = e
Vamos reorganizar os termos para chegar à forma padrão da parábola na nova coordenada, o que facilita o esboço do gráfico.

Resposta

A equação da cônica no sistema de coordenadas rotacionado é uma parábola representada por:
(y' + k)p = (x' + h)^2
Com os valores de , e determinados após a simplificação. O esboço do gráfico é uma parábola aberta na direção determinada pelos sinais dos coeficientes, posicionada no novo sistema de coordenadas.

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