Em biologia, as derivadas são usadas para modelar a taxa de variação de diversas funções, como a taxa de crescimento populacional, a velocidade de reação enzimática e a difusão de substâncias. Considere que a população de uma espécie de bactérias em um ambiente cresce de acordo com a função P(t) = 1000 e^(0,2 t), onde P(t) é a população no tempo t (em horas) e t é o tempo decorrido. Qual das seguintes expressões representa corretamente a taxa instantânea de crescimento populacional no tempo t?
A) P'(t) = 1000 e^(0,2 t)
B) P'(t) = 200 e^(0,2 t)
C) P'(t) = 1000 * 0,2 * e^(0,2 t)
D) P'(t) = 1000 * 0,02 * e^(0,2 * t)
E) P'(t) = 200 e^(0,02 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como a população de bactérias cresce ao longo do tempo. A função que representa essa população é , onde é a população no tempo (em horas). O que a gente precisa descobrir é qual das opções dadas mostra corretamente a taxa instantânea de crescimento dessa população, ou seja, a derivada de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação dessa função naquele ponto. No contexto da biologia, como aqui, a derivada da população em relação ao tempo nos mostra quão rápido a população está crescendo naquele instante.

Passo 3

Nossa função é . Para encontrar a taxa de crescimento, queremos calcular a derivada dessa função em relação a . A derivada de em relação a é , onde é uma constante.

Passo 4

Aplicando a regra da derivada à nossa função:
Como é uma constante, podemos multiplicar pela derivada de :

Passo 5

Agora, calculamos a derivada de :
Então, substituindo de volta:

Resposta

A expressão correta para a taxa instantânea de crescimento populacional no tempo é:
Alternativa C)

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Estime sen 3 por melhor aproximação linear. (2pts)
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contraexemplo.
(q) ( ) Se sumn=1^+infty an diverge e an neq 0, forall n >= 1, então sumn=1^+infty 1an converge;
A função exponencial é comumente utilizada em biologia para descrever processos de crescimento, como a multiplicação de células ou populações, bem como processos de decaimento, como a desintegração de substâncias radioativas. Um exemplo clássico é o crescimento populacional de bactérias em um ambiente com recursos abundantes, onde a taxa de crescimento é proporcional à quantidade de indivíduos presentes. Sabendo disso, qual das seguintes alternativas descreve corretamente o comportamento de uma função exponencial em um contexto biológico?
a) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece quando a taxa de crescimento da população diminui proporcionalmente ao número de indivíduos.
b) O crescimento exponencial de uma população bacteriana ocorre quando a população cresce a uma taxa constante, sem aceleração ou desaceleração.
c) A função exponencial descreve um crescimento populacional que dobra a cada intervalo de tempo fixo, resultando em uma curva de crescimento acelerado.
d) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece apenas quando os recursos são ilimitados, mas a população para de crescer quando atinge o dobro de seu tamanho inicial.
e) A função exponencial prevê que, em qualquer contexto biológico, a população continuará crescendo indefinidamente, independentemente dos recursos disponíveis.
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(l) sumn=2^+infty(-1)^n+1 x^nn(ln n)^2