Em biologia, as derivadas são usadas para modelar a taxa de variação de diversas funções, como a taxa de crescimento populacional, a velocidade de reação enzimática e a difusão de substâncias. Considere que a população de uma espécie de bactérias em um ambiente cresce de acordo com a função
, onde
é a população no tempo
(em horas) e t é o tempo decorrido. Qual das seguintes expressões representa corretamente a taxa instantânea de crescimento populacional no tempo t?
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como a população de bactérias cresce ao longo do tempo. A função que representa essa população é
, onde
é a população no tempo
(em horas). O que a gente precisa descobrir é qual das opções dadas mostra corretamente a taxa instantânea de crescimento dessa população, ou seja, a derivada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação dessa função naquele ponto. No contexto da biologia, como aqui, a derivada da população em relação ao tempo nos mostra quão rápido a população está crescendo naquele instante.
Passo 3
Nossa função é
. Para encontrar a taxa de crescimento, queremos calcular a derivada dessa função em relação a
. A derivada de
em relação a
é
, onde
é uma constante.
Passo 4
Aplicando a regra da derivada à nossa função:
Como
é uma constante, podemos multiplicar pela derivada de
:
Passo 5
Agora, calculamos a derivada de
:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A expressão correta para a taxa instantânea de crescimento populacional no tempo
é:
Alternativa C)
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Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contraexemplo.
(q) ( ) Se diverge e
, então
converge;
(q) ( ) Se
A função exponencial é comumente utilizada em biologia para descrever processos de crescimento, como a multiplicação de células ou populações, bem como processos de decaimento, como a desintegração de substâncias radioativas. Um exemplo clássico é o crescimento populacional de bactérias em um ambiente com recursos abundantes, onde a taxa de crescimento é proporcional à quantidade de indivíduos presentes. Sabendo disso, qual das seguintes alternativas descreve corretamente o comportamento de uma função exponencial em um contexto biológico?
a) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece quando a taxa de crescimento da população diminui proporcionalmente ao número de indivíduos.
b) O crescimento exponencial de uma população bacteriana ocorre quando a população cresce a uma taxa constante, sem aceleração ou desaceleração.
c) A função exponencial descreve um crescimento populacional que dobra a cada intervalo de tempo fixo, resultando em uma curva de crescimento acelerado.
d) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece apenas quando os recursos são ilimitados, mas a população para de crescer quando atinge o dobro de seu tamanho inicial.
e) A função exponencial prevê que, em qualquer contexto biológico, a população continuará crescendo indefinidamente, independentemente dos recursos disponíveis.
a) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece quando a taxa de crescimento da população diminui proporcionalmente ao número de indivíduos.
b) O crescimento exponencial de uma população bacteriana ocorre quando a população cresce a uma taxa constante, sem aceleração ou desaceleração.
c) A função exponencial descreve um crescimento populacional que dobra a cada intervalo de tempo fixo, resultando em uma curva de crescimento acelerado.
d) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece apenas quando os recursos são ilimitados, mas a população para de crescer quando atinge o dobro de seu tamanho inicial.
e) A função exponencial prevê que, em qualquer contexto biológico, a população continuará crescendo indefinidamente, independentemente dos recursos disponíveis.
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(l)
(l)