Estime sen 3 por melhor aproximação linear. (2pts)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer estimar o valor de
usando a melhor aproximação linear. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente a ideia de aproximação linear que utiliza a reta tangente para aproximar funções. Para resolver, vamos precisar saber o ponto em que vamos fazer essa aproximação e como calcular a derivada da função seno.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um ponto próximo a 3 onde calcular a aproximação será mais fácil. Vamos usar
(aproximadamente 3,1416) porque sabemos que
e é um ponto onde a função seno tem propriedades conhecidas.
Passo 3
A fórmula da aproximação linear (reta tangente) de uma função
em torno de um ponto
é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Calculamos
:
Passo 5
Agora, calculamos a derivada de
:
Então,
Passo 6
Substituímos esses valores na fórmula da aproximação linear:
Passo 7
Finalmente, usamos essa aproximação para estimar
:
Sabendo que
:
Resposta
A melhor aproximação linear de
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contraexemplo.
(q) ( ) Se diverge e
, então
converge;
(q) ( ) Se
Calcule os limites em
, apresentando apenas os resultados finais. (2pts.)
Em biologia, as derivadas são usadas para modelar a taxa de variação de diversas funções, como a taxa de crescimento populacional, a velocidade de reação enzimática e a difusão de substâncias. Considere que a população de uma espécie de bactérias em um ambiente cresce de acordo com a função
, onde
é a população no tempo
(em horas) e t é o tempo decorrido. Qual das seguintes expressões representa corretamente a taxa instantânea de crescimento populacional no tempo t?
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
A função exponencial é comumente utilizada em biologia para descrever processos de crescimento, como a multiplicação de células ou populações, bem como processos de decaimento, como a desintegração de substâncias radioativas. Um exemplo clássico é o crescimento populacional de bactérias em um ambiente com recursos abundantes, onde a taxa de crescimento é proporcional à quantidade de indivíduos presentes. Sabendo disso, qual das seguintes alternativas descreve corretamente o comportamento de uma função exponencial em um contexto biológico?
a) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece quando a taxa de crescimento da população diminui proporcionalmente ao número de indivíduos.
b) O crescimento exponencial de uma população bacteriana ocorre quando a população cresce a uma taxa constante, sem aceleração ou desaceleração.
c) A função exponencial descreve um crescimento populacional que dobra a cada intervalo de tempo fixo, resultando em uma curva de crescimento acelerado.
d) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece apenas quando os recursos são ilimitados, mas a população para de crescer quando atinge o dobro de seu tamanho inicial.
e) A função exponencial prevê que, em qualquer contexto biológico, a população continuará crescendo indefinidamente, independentemente dos recursos disponíveis.
a) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece quando a taxa de crescimento da população diminui proporcionalmente ao número de indivíduos.
b) O crescimento exponencial de uma população bacteriana ocorre quando a população cresce a uma taxa constante, sem aceleração ou desaceleração.
c) A função exponencial descreve um crescimento populacional que dobra a cada intervalo de tempo fixo, resultando em uma curva de crescimento acelerado.
d) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece apenas quando os recursos são ilimitados, mas a população para de crescer quando atinge o dobro de seu tamanho inicial.
e) A função exponencial prevê que, em qualquer contexto biológico, a população continuará crescendo indefinidamente, independentemente dos recursos disponíveis.