Estime sen 3 por melhor aproximação linear. (2pts)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer estimar o valor de usando a melhor aproximação linear. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente a ideia de aproximação linear que utiliza a reta tangente para aproximar funções. Para resolver, vamos precisar saber o ponto em que vamos fazer essa aproximação e como calcular a derivada da função seno.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um ponto próximo a 3 onde calcular a aproximação será mais fácil. Vamos usar (aproximadamente 3,1416) porque sabemos que e é um ponto onde a função seno tem propriedades conhecidas.

Passo 3

A fórmula da aproximação linear (reta tangente) de uma função em torno de um ponto é:
Aqui, e .

Passo 4

Calculamos :

Passo 5

Agora, calculamos a derivada de :
Então,

Passo 6

Substituímos esses valores na fórmula da aproximação linear:

Passo 7

Finalmente, usamos essa aproximação para estimar :
Sabendo que :

Resposta

A melhor aproximação linear de é aproximadamente .

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Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contraexemplo.
(q) ( ) Se sumn=1^+infty an diverge e an neq 0, forall n >= 1, então sumn=1^+infty 1an converge;
Calcule os limites em [-infty, infty], apresentando apenas os resultados finais. (2pts.) lim y 3 12-4 yraizy+3-raiz2 y= square
Em biologia, as derivadas são usadas para modelar a taxa de variação de diversas funções, como a taxa de crescimento populacional, a velocidade de reação enzimática e a difusão de substâncias. Considere que a população de uma espécie de bactérias em um ambiente cresce de acordo com a função P(t) = 1000 e^(0,2 t), onde P(t) é a população no tempo t (em horas) e t é o tempo decorrido. Qual das seguintes expressões representa corretamente a taxa instantânea de crescimento populacional no tempo t?
A) P'(t) = 1000 e^(0,2 t)
B) P'(t) = 200 e^(0,2 t)
C) P'(t) = 1000 * 0,2 * e^(0,2 t)
D) P'(t) = 1000 * 0,02 * e^(0,2 * t)
E) P'(t) = 200 e^(0,02 t)
A função exponencial é comumente utilizada em biologia para descrever processos de crescimento, como a multiplicação de células ou populações, bem como processos de decaimento, como a desintegração de substâncias radioativas. Um exemplo clássico é o crescimento populacional de bactérias em um ambiente com recursos abundantes, onde a taxa de crescimento é proporcional à quantidade de indivíduos presentes. Sabendo disso, qual das seguintes alternativas descreve corretamente o comportamento de uma função exponencial em um contexto biológico?
a) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece quando a taxa de crescimento da população diminui proporcionalmente ao número de indivíduos.
b) O crescimento exponencial de uma população bacteriana ocorre quando a população cresce a uma taxa constante, sem aceleração ou desaceleração.
c) A função exponencial descreve um crescimento populacional que dobra a cada intervalo de tempo fixo, resultando em uma curva de crescimento acelerado.
d) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece apenas quando os recursos são ilimitados, mas a população para de crescer quando atinge o dobro de seu tamanho inicial.
e) A função exponencial prevê que, em qualquer contexto biológico, a população continuará crescendo indefinidamente, independentemente dos recursos disponíveis.