Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(l) sumn=2^+infty(-1)^n+1 x^nn(ln n)^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências . Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências, especificamente os testes de convergência como o Teste da Razão. Precisamos encontrar o valor de para o qual a série converge.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série vai convergir.
Calculamos o limite:
L = limn to infty | x^n+1(n+1)(ln (n+1))^2 cdot n(ln n)^2x^n | = |x| cdot limn to infty nn+1 ( ln nln (n+1) )^2
onde .
Substituindo:

Passo 3

Simplificando o limite:
L = |x| cdot 1 cdot 1 = |x|
Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que |x| < 1 . Assim:
Portanto, o raio de convergência é igual a 1.

Passo 4

Agora, vamos verificar a convergência nos extremos do intervalo sumn=2^infty (-1)^n+1 1n(ln n)^2 e sumn=2^infty (-1)^n+1 (-1)^nn(ln n)^2 = sumn=2^infty -1n(ln n)^2 .
  • Para :
Essa é uma série alternada onde os termos são decrescentes e tendem a zero. Pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
  • Para :
Essa é uma série seriamente convergente pois converge por comparação com a integral .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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A função exponencial é comumente utilizada em biologia para descrever processos de crescimento, como a multiplicação de células ou populações, bem como processos de decaimento, como a desintegração de substâncias radioativas. Um exemplo clássico é o crescimento populacional de bactérias em um ambiente com recursos abundantes, onde a taxa de crescimento é proporcional à quantidade de indivíduos presentes. Sabendo disso, qual das seguintes alternativas descreve corretamente o comportamento de uma função exponencial em um contexto biológico?
a) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece quando a taxa de crescimento da população diminui proporcionalmente ao número de indivíduos.
b) O crescimento exponencial de uma população bacteriana ocorre quando a população cresce a uma taxa constante, sem aceleração ou desaceleração.
c) A função exponencial descreve um crescimento populacional que dobra a cada intervalo de tempo fixo, resultando em uma curva de crescimento acelerado.
d) O crescimento exponencial de uma população bacteriana acontece apenas quando os recursos são ilimitados, mas a população para de crescer quando atinge o dobro de seu tamanho inicial.
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Em biologia, as derivadas são usadas para modelar a taxa de variação de diversas funções, como a taxa de crescimento populacional, a velocidade de reação enzimática e a difusão de substâncias. Considere que a população de uma espécie de bactérias em um ambiente cresce de acordo com a função P(t) = 1000 e^(0,2 t), onde P(t) é a população no tempo t (em horas) e t é o tempo decorrido. Qual das seguintes expressões representa corretamente a taxa instantânea de crescimento populacional no tempo t?
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C) P'(t) = 1000 * 0,2 * e^(0,2 t)
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A função logarítmica é amplamente utilizada em biologia para modelar processos como o crescimento populacional e a decaída de substâncias radioativas. Um exemplo comum é o uso da função logarítmica para descrever o crescimento de populações bacterianas em um ambiente com recursos limitados, onde o crescimento tende a se estabilizar após atingir a capacidade máxima de suporte. Qual das alternativas a seguir descreve corretamente como a função logarítmica pode ser aplicada nesse contexto?
a) O crescimento populacional bacteriano segue uma relação linear até atingir o limite de recursos, momento em que o crescimento para imediatamente.
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c) A função logarítmica descreve o crescimento populacional bacteriano que aumenta indefinidamente sem qualquer estabilização, mesmo com a limitação de recursos.
d) O crescimento populacional bacteriano é descrito por uma função logarítmica que prevê uma redução constante na taxa de crescimento desde o início, sem nenhum aumento inicial significativo.
e) O crescimento populacional bacteriano segue uma função logarítmica de base 2, pois a população sempre dobra em intervalos de tempo fixos, independentemente dos recursos disponíveis.
Pesquise e descreva cinco funções derivadas à sua escolha.