Um bloco de é atado a uma mola com constante de elasticidade igual a . Supondo que uma força de amortecimento igual ao dobro da velocidade instantânea atua no sistema, determine a equação de movimento se o bloco parte da posição de equilíbrio com velocidade de para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de física que envolve um bloco preso a uma mola com amortecimento. O problema está dentro do estudo de Movimento Harmônico Oscilatório com amortecimento, que faz parte da Mecânica. Vamos precisar entender como formular a equação de movimento considerando a força da mola e a força de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuantes no sistema. Temos dois tipos de forças:
  1. Força da mola: Esta força tenta puxar o bloco de volta para a posição de equilíbrio e é dada pela Lei de Hooke:
    onde é a constante da mola e é o deslocamento do bloco em relação à posição de equilíbrio.
  2. Força de amortecimento: Esta força é proporcional à velocidade do bloco e age no sentido contrário do movimento, reduzindo a amplitude das oscilações. É dada por:
    onde é a constante de amortecimento e é a velocidade instantânea.

Passo 3

Sabemos que a segunda lei de Newton relaciona a força resultante com a massa e a aceleração:
Aqui, a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo , ou seja, .

Passo 4

A força resultante no sistema é a soma das forças da mola e do amortecimento:
Substituindo na segunda lei de Newton:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para obter a equação diferencial característica do movimento:
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento do bloco com amortecimento.

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
  • Massa,
  • Constante da mola,
  • Constante de amortecimento, (está dizendo que é o dobro da velocidade, então )
Substituindo na equação:

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por :
Essa é a equação de movimento simplificada do sistema.

Resposta

A equação de movimento do bloco é:

Exercícios relacionados

Um bloco de massa 2 Kg distende uma mola em 10 m . No instante , o bloco é solto, a partir do repouso, de um ponto a 8 m abaixo da posição de equilíbrio. Determine a função que descreve o movimento livre subsequente
Calcule os seguintes limites:
Encontre o gradiente para a função dada, no ponto .
  • .
Encontre o gradiente para a função dada, no ponto .
  • .