Um bloco de
é atado a uma mola com constante de elasticidade igual a
. Supondo que uma força de amortecimento igual ao dobro da velocidade instantânea atua no sistema, determine a equação de movimento se o bloco parte da posição de equilíbrio com velocidade de
para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de física que envolve um bloco preso a uma mola com amortecimento. O problema está dentro do estudo de Movimento Harmônico Oscilatório com amortecimento, que faz parte da Mecânica. Vamos precisar entender como formular a equação de movimento considerando a força da mola e a força de amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuantes no sistema. Temos dois tipos de forças:
-
Força da mola: Esta força tenta puxar o bloco de volta para a posição de equilíbrio e é dada pela Lei de Hooke:onde
é a constante da mola e é o deslocamento do bloco em relação à posição de equilíbrio. -
Força de amortecimento: Esta força é proporcional à velocidade do bloco e age no sentido contrário do movimento, reduzindo a amplitude das oscilações. É dada por:onde
é a constante de amortecimento e é a velocidade instantânea.
Passo 3
Sabemos que a segunda lei de Newton relaciona a força resultante com a massa e a aceleração:
Aqui, a aceleração
é a segunda derivada da posição
em relação ao tempo
, ou seja,
.
Passo 4
A força resultante no sistema é a soma das forças da mola e do amortecimento:
Substituindo na segunda lei de Newton:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para obter a equação diferencial característica do movimento:
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento do bloco com amortecimento.
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
- Massa,
- Constante da mola,
- Constante de amortecimento,
(está dizendo que é o dobro da velocidade, então )
Substituindo na equação:
Passo 7
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por
:
Essa é a equação de movimento simplificada do sistema.
Resposta
A equação de movimento do bloco é:
Exercícios relacionados
Um bloco de massa 2 Kg distende uma mola em 10 m . No instante
, o bloco é solto, a partir do repouso, de um ponto a 8 m abaixo da posição de equilíbrio. Determine a função
que descreve o movimento livre subsequente
Calcule os seguintes limites:
Encontre o gradiente para a função dada, no ponto
.
-
.
Encontre o gradiente para a função dada, no ponto
.
-
.