Encontre o gradiente para a função dada, no ponto .
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Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar o gradiente dessa função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e vetores gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais de em relação a cada variável. Matemáticamente, é representado por:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais da função .
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto .
  1. Avaliação de em :
  1. Avaliação de em :
  1. Avaliação de em :

Resposta

O gradiente de no ponto é:

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Encontre o gradiente para a função dada, no ponto .
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Um bloco de é atado a uma mola com constante de elasticidade igual a . Supondo que uma força de amortecimento igual ao dobro da velocidade instantânea atua no sistema, determine a equação de movimento se o bloco parte da posição de equilíbrio com velocidade de para cima.
Um bloco de massa 1 Kg distende uma mola em . No instante , o bloco é solto de um ponto a 10 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial de . Determine a função que descreve o movimento livre subsequente. Determine também o período e a frequência do movimento.
Encontre o gradiente para a função dada, no ponto .