Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de
quando
tende ao infinito. Isso está relacionado ao conteúdo de Limites no cálculo, e vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo na expressão
quando
fica muito grande (ou seja, tende ao infinito). À medida que
cresce, o termo
domina em relação a
, então a raiz quadrada vai se aproximar de
. Mas queremos saber exatamente qual é a diferença entre
e
nesse cenário.
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos racionalizar a expressão. Isso significa que vamos multiplicar e dividir a expressão por algo que vai eliminar a raiz no numerador. No caso, multiplicamos por
:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar os termos no numerador usando a identidade
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Para simplificar ainda mais, vamos dividir o numerador e o denominador por
:
Aqui, usamos a propriedade de que
.
Passo 6
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito. Note que
tende a zero, então a expressão dentro da raiz fica:
Portanto, a expressão simplificada se torna:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Considere a função
Encontre os máximos locais, os mínimos locais e os pontos de sela de
. Justifique sua resposta.
Um bloco de massa 2 Kg distende uma mola em 10 m . No instante
, o bloco é solto, a partir do repouso, de um ponto a 8 m abaixo da posição de equilíbrio. Determine a função
que descreve o movimento livre subsequente
Um bloco de
é atado a uma mola com constante de elasticidade igual a
. Supondo que uma força de amortecimento igual ao dobro da velocidade instantânea atua no sistema, determine a equação de movimento se o bloco parte da posição de equilíbrio com velocidade de
para cima.