Calcule os seguintes limites: lim w infty raizw^2+w-w

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de quando tende ao infinito. Isso está relacionado ao conteúdo de Limites no cálculo, e vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo na expressão quando fica muito grande (ou seja, tende ao infinito). À medida que cresce, o termo domina em relação a , então a raiz quadrada vai se aproximar de . Mas queremos saber exatamente qual é a diferença entre e nesse cenário.

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos racionalizar a expressão. Isso significa que vamos multiplicar e dividir a expressão por algo que vai eliminar a raiz no numerador. No caso, multiplicamos por raizw^2 + w - w = (raizw^2 + w - w)(raizw^2 + w + w)raizw^2 + w + w :

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os termos no numerador usando a identidade (raizw^2 + w)^2 - w^2 = (w^2 + w) - w^2 = w :
wraizw^2 + w + w
Então, a expressão fica:

Passo 5

Para simplificar ainda mais, vamos dividir o numerador e o denominador por wraizw^2 + w + w = 1raiz1 + 1w + 1 :
Aqui, usamos a propriedade de que .

Passo 6

Agora, vamos analisar o que acontece quando raiz1 + 0 = 1 tende ao infinito. Note que 11 + 1 = 12 tende a zero, então a expressão dentro da raiz fica:
Portanto, a expressão simplificada se torna:

Resposta

O limite é .

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