Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de quando tende ao infinito. Isso está relacionado ao conteúdo de Limites no cálculo, e vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo na expressão quando fica muito grande (ou seja, tende ao infinito). À medida que cresce, o termo domina em relação a , então a raiz quadrada vai se aproximar de . Mas queremos saber exatamente qual é a diferença entre e nesse cenário.

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos racionalizar a expressão. Isso significa que vamos multiplicar e dividir a expressão por algo que vai eliminar a raiz no numerador. No caso, multiplicamos por :

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os termos no numerador usando a identidade :
Então, a expressão fica:

Passo 5

Para simplificar ainda mais, vamos dividir o numerador e o denominador por :
Aqui, usamos a propriedade de que .

Passo 6

Agora, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito. Note que tende a zero, então a expressão dentro da raiz fica:
Portanto, a expressão simplificada se torna:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites:
Considere a função
Encontre os máximos locais, os mínimos locais e os pontos de sela de . Justifique sua resposta.
Um bloco de massa 2 Kg distende uma mola em 10 m . No instante , o bloco é solto, a partir do repouso, de um ponto a 8 m abaixo da posição de equilíbrio. Determine a função que descreve o movimento livre subsequente
Um bloco de é atado a uma mola com constante de elasticidade igual a . Supondo que uma força de amortecimento igual ao dobro da velocidade instantânea atua no sistema, determine a equação de movimento se o bloco parte da posição de equilíbrio com velocidade de para cima.