Um bloco de massa 2 Kg distende uma mola em 10 m . No instante , o bloco é solto, a partir do repouso, de um ponto a 8 m abaixo da posição de equilíbrio. Determine a função que descreve o movimento livre subsequente

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um bloco de 2 kg que está esticando uma mola em 10 metros. No instante inicial (t = 0), o bloco é solto de um ponto que está 8 metros abaixo da posição de equilíbrio. Nosso objetivo é determinar a função que descreve o movimento depois que o bloco é solto. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento harmônico simples e leis das molas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante da mola, . Sabemos que, na posição de equilíbrio, a força da mola é igual ao peso do bloco. A força da mola é dada por , onde é a extensão da mola.
Onde:
  • (massa do bloco)
  • (aceleração da gravidade)
  • (extensão da mola na posição de equilíbrio)
Então,

Passo 3

Agora, vamos determinar a frequência angular do sistema. A fórmula para em um movimento harmônico simples é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

A equação geral para a posição em um movimento harmônico simples é:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Sabemos que no instante :
  • A posição inicial (8 metros abaixo da posição de equilíbrio)
  • A velocidade inicial (o bloco parte do repouso)
Vamos aplicar essas condições para encontrar e .

Passo 5

Primeiro, aplicamos a condição da posição inicial:
Agora, derivamos para encontrar a velocidade e aplicamos a condição da velocidade inicial:
Aplicando :

Passo 6

Com e , a função que descreve o movimento é:

Resposta

A função que descreve o movimento do bloco é:

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Calcule os seguintes limites:
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Um bloco de é atado a uma mola com constante de elasticidade igual a . Supondo que uma força de amortecimento igual ao dobro da velocidade instantânea atua no sistema, determine a equação de movimento se o bloco parte da posição de equilíbrio com velocidade de para cima.
Encontre o gradiente para a função dada, no ponto .
  • .