Um bloco de massa 2 Kg distende uma mola em 10 m . No instante
, o bloco é solto, a partir do repouso, de um ponto a 8 m abaixo da posição de equilíbrio. Determine a função
que descreve o movimento livre subsequente
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um bloco de 2 kg que está esticando uma mola em 10 metros. No instante inicial (t = 0), o bloco é solto de um ponto que está 8 metros abaixo da posição de equilíbrio. Nosso objetivo é determinar a função
que descreve o movimento depois que o bloco é solto. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento harmônico simples e leis das molas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a constante da mola,
. Sabemos que, na posição de equilíbrio, a força da mola é igual ao peso do bloco. A força da mola é dada por
, onde
é a extensão da mola.
Onde:
-
(massa do bloco) -
(aceleração da gravidade) -
(extensão da mola na posição de equilíbrio)
Então,
Passo 3
Agora, vamos determinar a frequência angular
do sistema. A fórmula para
em um movimento harmônico simples é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
A equação geral para a posição em um movimento harmônico simples é:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Sabemos que no instante
:
- A posição inicial
(8 metros abaixo da posição de equilíbrio) - A velocidade inicial
(o bloco parte do repouso)
Vamos aplicar essas condições para encontrar
e
.
Passo 5
Primeiro, aplicamos a condição da posição inicial:
Agora, derivamos
para encontrar a velocidade e aplicamos a condição da velocidade inicial:
Aplicando
:
Passo 6
Com
e
, a função que descreve o movimento é:
Resposta
A função que descreve o movimento do bloco é:
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Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Um bloco de
é atado a uma mola com constante de elasticidade igual a
. Supondo que uma força de amortecimento igual ao dobro da velocidade instantânea atua no sistema, determine a equação de movimento se o bloco parte da posição de equilíbrio com velocidade de
para cima.
Encontre o gradiente para a função dada, no ponto
.
-
.