Um bloco de 0,270 kg é deixado cair sobre uma mola vertical. Imediatamente antes de se chocar com a mola, o módulo da velocidade do bloco é de 3,5 m / s. O bloco adere-se à mola, que ele comprime 0,12 m antes de parar momentaneamente. Enquanto a mola está sendo comprimida, responda os itens (a) e (b) ignorando o atrito entre as paredes do fosso e o bloco, e responda o item © considerando que entre as paredes do fosso e o bloco exista uma força de atrito constante e igual a 10,0 N.
(a) Qual é o trabalho realizado pela força da gravidade;
(b) Qual é o valor da constante elástica da mola;
© Qual é o novo valor da constante elástica da mola.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física envolvendo trabalho e energia em um sistema com um bloco e uma mola. Temos um bloco de massa 0,270,kg que cai sobre uma mola vertical com uma velocidade de 3,5,m/s. O bloco para após comprimir a mola 0,12,m. Vamos usar conceitos de trabalho, energia cinética e potencial elástica para resolver as partes (a) e (b) sem considerar o atrito, e a parte © considerando um atrito constante de 10,0,N. Vamos precisar das fórmulas de trabalho, energia cinética e força da mola.

Passo 2

Parte (a): Trabalho realizado pela força da gravidade
Primeiro, vamos entender o que é trabalho. O trabalho realizado por uma força é dado por:
W = F cdot d cdot cos(theta)
onde W é o trabalho, F é a força, d é a distância e theta é o ângulo entre a força e o deslocamento.
No nosso caso, a força da gravidade ( Fg = m cdot g) está na direção para baixo, e o deslocamento da mola também é para baixo, então theta = 0° e cos(0º) = 1º. Portanto, o trabalho realizado pela gravidade é:
Wg = m cdot g cdot d
Substituindo os valores:
Wg = 0,270,kg cdot 9,81,m/s^2 cdot 0,12,m
Wg approx 0,270 cdot 9,81 cdot 0,12 approx 0,318,J

Passo 3

Parte (b): Valor da constante elástica da mola
Para encontrar a constante elástica da mola, vamos usar o princípio da conservação de energia. A energia cinética inicial do bloco é convertida em energia potencial elástica da mola e trabalho realizado pela gravidade.
A energia cinética inicial ( Ec) é:
Ec = 12 m v^2
A energia potencial elástica ( Ee) da mola é:
Ee = 12 k x^2
E o trabalho da gravidade já calculamos como Wg = m cdot g cdot x.
Pela conservação de energia:
Ec = Ee + Wg
Substituindo as expressões:
12 m v^2 = 12 k x^2 + m cdot g cdot x
Queremos encontrar k, então rearranjamos:
12 k x^2 = 12 m v^2 - m cdot g cdot x
Multiplicando ambos os lados por 2:
k x^2 = m v^2 - 2 m g x
Isolando k:
k = m v^2 - 2 m g xx^2
Substituindo os valores:
k = 0,270 cdot (3,5)^2 - 2 cdot 0,270 cdot 9,81 cdot 0,12(0,12)^2
Calculando passo a passo:
  1. m v^2 = 0,270 cdot 12,25 = 3,3075,J
  2. 2 m g x = 2 cdot 0,270 cdot 9,81 cdot 0,12 approx 0,634,J
  3. k = 3,3075 - 0,6340,0144 approx 2,67350,0144 approx 185,7,N/m

Passo 4

Parte ©: Novo valor da constante elástica da mola considerando atrito
Agora, além da energia cinética e potencial elástica, temos que considerar o trabalho realizado pela força de atrito ( Wf). O trabalho total agora é:
Ec = Ee + Wg + Wf
A força de atrito é constante e contrária ao deslocamento, então o trabalho realizado por ela é:
Wf = -Ff cdot x
Então, a equação fica:
12 m v^2 = 12 k x^2 + m cdot g cdot x + Ff cdot x
Resolvendo para k:
12 k x^2 = 12 m v^2 - m cdot g cdot x - Ff cdot x
Multiplicando por 2:
k x^2 = m v^2 - 2 m g x - 2 Ff x
Isolando k:
k = m v^2 - 2 m g x - 2 Ff xx^2
Substituindo os valores:
k = 0,270 cdot (3,5)^2 - 2 cdot 0,270 cdot 9,81 cdot 0,12 - 2 cdot 10,0 cdot 0,12(0,12)^2
Calculando passo a passo:
  1. m v^2 = 0,270 cdot 12,25 = 3,3075,J
  2. 2 m g x = 2 cdot 0,270 cdot 9,81 cdot 0,12 approx 0,634,J
  3. 2 Ff x = 2 cdot 10,0 cdot 0,12 = 2,4,J
  4. k = 3,3075 - 0,634 - 2,40,0144 = 3,3075 - 3,0340,0144 = 0,27350,0144 approx 18,98,N/m

Resposta

(a) O trabalho realizado pela força da gravidade é aproximadamente 0,318,J.
(b) A constante elástica da mola é aproximadamente 185,7,N/m.
© Considerando o atrito, a nova constante elástica da mola é aproximadamente 18,98,N/m.

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