Um bloco de 0,276 kg está preso a uma mola de constante elástica k=2,37 N / m e oscila sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco está sujeito a uma força de amortecimento proporcional à sua velocidade, dada por FA, x=-bvx, onde b=0,908 kg / s é a constante de amortecimento. Considerando que o movimento é harmônico amortecido, qual é a frequência (em Hz) das oscilações do bloco?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco de 0,276 kg preso a uma mola com constante elástica de 2,37 N/m, que oscila em uma superfície sem atrito. Além disso, há uma força de amortecimento proporcional à velocidade do bloco, com constante de 0,908 kg/s. O objetivo aqui é encontrar a frequência das oscilações desse bloco, considerando que o movimento é harmônico amortecido.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento harmônico amortecido, que envolve conceitos de massa, mola e amortecimento. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é movimento harmônico amortecido. Nesse tipo de movimento, além da oscilação comum de uma mola, há uma força que age contra o movimento, fazendo com que as oscilações diminuam com o tempo. Essa força é proporcional à velocidade do objeto e é chamada de força de amortecimento.
A frequência das oscilações amortecidas, que a gente quer achar, é diferente da frequência das oscilações sem amortecimento. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula:
omegad = raizkm - ( b2m )^2
Onde:
  • é a frequência angular das oscilações amortecidas,
  • é a constante elástica da mola,
  • é a massa do bloco,
  • é a constante de amortecimento.

Passo 3

Vamos substituir os valores que a gente tem nessa fórmula. Primeiro, identificamos os valores:
m = 0,276, kg k = 2,37, N/m b = 0,908, kg/s
Agora, vamos calcular cada parte da fórmula:
Primeiro, 2,370,276 approx 8,6, rad^2/s^2 :
0,9082 times 0,276 approx 1,645, s^-1
Depois, 1,645^2 approx 2,706, s^-2 :
E :

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da frequência angular amortecida:
omegad = raiz8,6 - 2,706 = raiz5,894 approx 2,428, rad/s
Aí, é a frequência angular em radianos por segundo. Mas a gente quer a frequência em hertz (Hz), que é o número de oscilações por segundo.

Passo 5

Para converter a frequência angular ( omegad = 2pi f ) para frequência em hertz (f), usamos a relação:
f = omegad2pi
Então, isolando f:
f = 2,4282 times 3,1416 approx 2,4286,2832 approx 0,386, Hz
Vamos substituir o valor que encontramos:

Resposta

A frequência das oscilações do bloco é aproximadamente 0,386 Hz.

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