Considere um sistema massa-mola de massa
e constante elástica
, posto para oscilar verticalmente sob a ação de uma força senoidal Fext,y
. O sistema massa-mola está imerso em um fluido que lhe aplica uma força de amortecimento
, onde Vy é a velocidade do sistema massa-mola. Qual é a frequência de ressonância (em Hz) do sistema massa-mola?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de sistema massa-mola! O enunciado nos dá uma massa de
, uma constante elástica de
, uma força externa senoidal e um termo de amortecimento. Nosso objetivo é encontrar a frequência de ressonância desse sistema, medida em Hertz (Hz).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações forçadas e amortecidas. Vamos precisar calcular a frequência natural do sistema e levar em conta o amortecimento para achar a frequência de ressonância.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a frequência natural (
) do sistema massa-mola sem considerar o amortecimento. A frequência natural é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a constante elástica ( ) -
é a massa ( )
Vamos calcular isso agora:
Passo 3
Agora, vamos considerar o amortecimento no sistema. O amortecimento é dado pela força de amortecimento:
Onde:
-
é o coeficiente de amortecimento ( ) -
é a velocidade do sistema massa-mola
Para encontrar a taxa de amortecimento (
), usamos a fórmula:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Com a frequência natural (
) e a taxa de amortecimento (
) conhecidas, podemos agora calcular a frequência de ressonância (
). A fórmula para a frequência de ressonância em um sistema amortecido é:
Vamos substituir os valores que encontramos:
Calculando os termos dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Finalmente, vamos converter a frequência de ressonância de radianos por segundo para Hertz (Hz). Sabemos que:
Substituindo:
Resposta
A frequência de ressonância do sistema massa-mola é aproximadamente 0,189 Hz.