Considere um sistema massa-mola de massa m=0,300 kg e constante elástica k=2,59 N / m, posto para oscilar verticalmente sob a ação de uma força senoidal Fext,y =(2,96 N) sin [(10,8 rad / s) t]. O sistema massa-mola está imerso em um fluido que lhe aplica uma força de amortecimento FA, y=-(1,14 N s / m) Vy, onde Vy é a velocidade do sistema massa-mola. Qual é a frequência de ressonância (em Hz) do sistema massa-mola?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de sistema massa-mola! O enunciado nos dá uma massa de 0,300 , kg, uma constante elástica de 2,59 , N/m, uma força externa senoidal e um termo de amortecimento. Nosso objetivo é encontrar a frequência de ressonância desse sistema, medida em Hertz (Hz).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações forçadas e amortecidas. Vamos precisar calcular a frequência natural do sistema e levar em conta o amortecimento para achar a frequência de ressonância.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a frequência natural ( omega0) do sistema massa-mola sem considerar o amortecimento. A frequência natural é dada pela fórmula:
omega0 = raizkm
Onde:
  • k é a constante elástica ( 2,59 , N/m)
  • m é a massa ( 0,300 , kg)
Vamos calcular isso agora:
omega0 = raiz2,590,300 approx raiz8,6333 approx 2,938 , rad/s

Passo 3

Agora, vamos considerar o amortecimento no sistema. O amortecimento é dado pela força de amortecimento:
FA = -c , Vy
Onde:
  • c é o coeficiente de amortecimento ( 1,14 , N cdot s/m)
  • Vy é a velocidade do sistema massa-mola
Para encontrar a taxa de amortecimento ( zeta), usamos a fórmula:
zeta = c2 raizm k
Vamos calcular isso:
zeta = 1,142 raiz0,300 times 2,59 = 1,142 raiz0,777 approx 1,142 times 0,881 approx 1,141,762 approx 0,647

Passo 4

Com a frequência natural ( omega0) e a taxa de amortecimento ( zeta) conhecidas, podemos agora calcular a frequência de ressonância ( omegar). A fórmula para a frequência de ressonância em um sistema amortecido é:
omegar = omega0 raiz1 - 2zeta^2
Vamos substituir os valores que encontramos:
omegar = 2,938 times raiz1 - 2 times (0,647)^2
Calculando os termos dentro da raiz:
2 times (0,647)^2 = 2 times 0,418 = 0,836
Então:
omegar = 2,938 times raiz1 - 0,836 = 2,938 times raiz0,164 approx 2,938 times 0,405 = 1,191 , rad/s

Passo 5

Finalmente, vamos converter a frequência de ressonância de radianos por segundo para Hertz (Hz). Sabemos que:
fr = omegar2pi
Substituindo:
fr = 1,1912 times 3,1416 approx 1,1916,2832 approx 0,189 , Hz

Resposta

A frequência de ressonância do sistema massa-mola é aproximadamente 0,189 Hz.

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