Considere um sistema massa-mola de massa e constante elástica , posto para oscilar verticalmente sob a ação de uma força senoidal Fext,y . O sistema massa-mola está imerso em um fluido que lhe aplica uma força de amortecimento , onde Vy é a velocidade do sistema massa-mola. Qual é a frequência de ressonância (em Hz) do sistema massa-mola?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de sistema massa-mola! O enunciado nos dá uma massa de , uma constante elástica de , uma força externa senoidal e um termo de amortecimento. Nosso objetivo é encontrar a frequência de ressonância desse sistema, medida em Hertz (Hz).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações forçadas e amortecidas. Vamos precisar calcular a frequência natural do sistema e levar em conta o amortecimento para achar a frequência de ressonância.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a frequência natural ( ) do sistema massa-mola sem considerar o amortecimento. A frequência natural é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a constante elástica ( )
  • é a massa ( )
Vamos calcular isso agora:

Passo 3

Agora, vamos considerar o amortecimento no sistema. O amortecimento é dado pela força de amortecimento:
Onde:
  • é o coeficiente de amortecimento ( )
  • é a velocidade do sistema massa-mola
Para encontrar a taxa de amortecimento ( ), usamos a fórmula:
Vamos calcular isso:

Passo 4

Com a frequência natural ( ) e a taxa de amortecimento ( ) conhecidas, podemos agora calcular a frequência de ressonância ( ). A fórmula para a frequência de ressonância em um sistema amortecido é:
Vamos substituir os valores que encontramos:
Calculando os termos dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Finalmente, vamos converter a frequência de ressonância de radianos por segundo para Hertz (Hz). Sabemos que:
Substituindo:

Resposta

A frequência de ressonância do sistema massa-mola é aproximadamente 0,189 Hz.

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