Considere um sistema massa-mola de massa e constante elástica , posto para oscilar verticalmente sob a ação de uma força senoidal Fext,y . O sistema massa-mola está imerso em um fluido que lhe aplica uma força de amortecimento , onde Vy é a velocidade do sistema massa-mola. Qual é a frequência de ressonância (em Hz) do sistema massa-mola?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de sistema massa-mola! O enunciado nos dá uma massa de , uma constante elástica de , uma força externa senoidal e um termo de amortecimento. Nosso objetivo é encontrar a frequência de ressonância desse sistema, medida em Hertz (Hz).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações forçadas e amortecidas. Vamos precisar calcular a frequência natural do sistema e levar em conta o amortecimento para achar a frequência de ressonância.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a frequência natural () do sistema massa-mola sem considerar o amortecimento. A frequência natural é dada pela fórmula:
Onde:
é a constante elástica ()
é a massa ()
Vamos calcular isso agora:
Passo 3
Agora, vamos considerar o amortecimento no sistema. O amortecimento é dado pela força de amortecimento:
Onde:
é o coeficiente de amortecimento ()
é a velocidade do sistema massa-mola
Para encontrar a taxa de amortecimento (), usamos a fórmula:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Com a frequência natural () e a taxa de amortecimento () conhecidas, podemos agora calcular a frequência de ressonância (). A fórmula para a frequência de ressonância em um sistema amortecido é:
Vamos substituir os valores que encontramos:
Calculando os termos dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Finalmente, vamos converter a frequência de ressonância de radianos por segundo para Hertz (Hz). Sabemos que:
Substituindo:
Resposta
A frequência de ressonância do sistema massa-mola é aproximadamente 0,189 Hz.