Expresse o vetor em termos da tríade onde os eixos são girados em torno do eixo (que coincide com o eixo ) de um ângulo de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor no sistema de coordenadas original. A gente precisa expressar esse vetor no novo sistema de coordenadas , onde os eixos e foram girados em torno do eixo (que é o mesmo que ) por um ângulo de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de rotação de coordenadas e transformar os vetores entre os sistemas antigo e novo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os eixos estão relacionados após a rotação. Como o eixo é o mesmo que o eixo , ele não muda. Já os eixos e são girados em torno do eixo para se tornarem e .
A relação entre os vetores dos sistemas antigos e novos é dada pelas seguintes fórmulas de rotação:
Aqui, .

Passo 3

Nosso objetivo é escrever e em termos de , e .
Da relação de rotação que vimos:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas expressões no vetor :

Passo 5

Simplificando a expressão, combinando os termos:

Passo 6

Agora, vamos substituir o valor de . Sabemos que:
Então:

Resposta

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