Expresse o vetor
em termos da tríade
onde os eixos
são girados em torno do eixo
(que coincide com o eixo
) de um ângulo de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor
no sistema de coordenadas original. A gente precisa expressar esse vetor no novo sistema de coordenadas
, onde os eixos
e
foram girados em torno do eixo
(que é o mesmo que
) por um ângulo de
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de rotação de coordenadas e transformar os vetores entre os sistemas antigo e novo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os eixos estão relacionados após a rotação. Como o eixo
é o mesmo que o eixo
, ele não muda. Já os eixos
e
são girados em torno do eixo
para se tornarem
e
.
A relação entre os vetores dos sistemas antigos e novos é dada pelas seguintes fórmulas de rotação:
Aqui,
.
Passo 3
Nosso objetivo é escrever
e
em termos de
,
e
.
Da relação de rotação que vimos:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas expressões no vetor
:
Passo 5
Simplificando a expressão, combinando os termos:
Passo 6
Agora, vamos substituir o valor de
. Sabemos que:
Então: