Expresse o vetor imath+jmath em termos da tríade imath^prime jmath^prime k^prime onde os eixos x^prime z^prime são girados em torno do eixo y (que coincide com o eixo y^prime ) de um ângulo de 60^circ.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor no sistema de coordenadas original. A gente precisa expressar esse vetor no novo sistema de coordenadas , onde os eixos e foram girados em torno do eixo (que é o mesmo que ) por um ângulo de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de rotação de coordenadas e transformar os vetores entre os sistemas antigo e novo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os eixos estão relacionados após a rotação. Como o eixo imath' = cos(theta) imath + sin(theta) k é o mesmo que o eixo k' = -sin(theta) imath + cos(theta) k , ele não muda. Já os eixos jmath' = jmath e são girados em torno do eixo para se tornarem e .
A relação entre os vetores dos sistemas antigos e novos é dada pelas seguintes fórmulas de rotação:
Aqui, .

Passo 3

Nosso objetivo é escrever imath = cos(theta) imath' - sin(theta) k' e k = sin(theta) imath' + cos(theta) k' em termos de jmath = jmath' , e .
Da relação de rotação que vimos:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas expressões no vetor imath + jmath = ( cos(theta) imath' - sin(theta) k' ) + jmath' :

Passo 5

Simplificando a expressão, combinando os termos:
imath + jmath = cos(theta) imath' + jmath' - sin(theta) k'

Passo 6

Agora, vamos substituir o valor de cos(60^circ) = 12 e sin(60^circ) = raiz32 . Sabemos que:
imath + jmath = 12 imath' + jmath' - raiz32 k'
Então:

Resposta

imath + jmath = 12 imath' + jmath' - raiz32 k'

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