Um bloco preso a uma mola é posto em oscilação com amplitude inicial de . Após 2,6 min a amplitude decaiu para . Qual é o valor de y em para esse movimento?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. Temos um bloco preso numa mola que está oscilando. A amplitude inicial dessa oscilação é de 114 mm. Depois de 2,6 minutos, essa amplitude diminuiu para 62 mm. A gente precisa descobrir o valor de em para esse movimento. Vamos usar conceitos de oscilações amortecidas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, sabemos que em oscilações amortecidas, a amplitude diminui exponencialmente com o tempo. A fórmula que descreve isso é:
Onde:
é a amplitude no tempo .
é a amplitude inicial.
é a constante de amortecimento que queremos encontrar.
é a base do logaritmo natural.
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. A amplitude inicial é 114 mm e a amplitude após 2,6 minutos (que vamos converter para segundos) é 62 mm.
Primeiro, convertemos 2,6 minutos para segundos:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para . Primeiro, isolamos o termo exponencial dividindo ambos os lados por 114:
Passo 5
Para eliminar o , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 6
Agora, isolamos dividindo ambos os lados por -156: