Um bloco preso a uma mola é posto em oscilação com amplitude inicial de . Após 2,6 min a amplitude decaiu para . Qual é o valor de y em para esse movimento?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. Temos um bloco preso numa mola que está oscilando. A amplitude inicial dessa oscilação é de 114 mm. Depois de 2,6 minutos, essa amplitude diminuiu para 62 mm. A gente precisa descobrir o valor de em para esse movimento. Vamos usar conceitos de oscilações amortecidas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, sabemos que em oscilações amortecidas, a amplitude diminui exponencialmente com o tempo. A fórmula que descreve isso é:
Onde:
  • é a amplitude no tempo .
  • é a amplitude inicial.
  • é a constante de amortecimento que queremos encontrar.
  • é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. A amplitude inicial é 114 mm e a amplitude após 2,6 minutos (que vamos converter para segundos) é 62 mm.
Primeiro, convertemos 2,6 minutos para segundos:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para . Primeiro, isolamos o termo exponencial dividindo ambos os lados por 114:

Passo 5

Para eliminar o , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 6

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por -156:

Resposta

O valor de é aproximadamente .

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Dados . Encontre
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Considere um sistema massa-mola de massa e constante elástica , posto para oscilar verticalmente sob a ação de uma força senoidal Fext,y . O sistema massa-mola está imerso em um fluido que lhe aplica uma força de amortecimento , onde Vy é a velocidade do sistema massa-mola. Qual é a frequência de ressonância (em Hz) do sistema massa-mola?
Um bloco de está preso a uma mola de constante elástica e oscila sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco está sujeito a uma força de amortecimento proporcional à sua velocidade, dada por , onde é a constante de amortecimento. Considerando que o movimento é harmônico amortecido, qual é a frequência (em Hz) das oscilações do bloco?