Dois vetores
e
representam lados concorrentes de um paralelogramo. Prove que a área do paralelogramo é
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema: temos dois vetores,
e
, que são lados adjacentes de um paralelogramo. Nosso objetivo é provar que a área desse paralelogramo é igual ao módulo do produto vetorial desses vetores, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e como ele se relaciona com áreas de formas geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores
e
, representado por
, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Além disso, o módulo desse produto vetorial é calculado pela fórmula:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos conectar isso com a área do paralelogramo. A área de um paralelogramo pode ser encontrada multiplicando a base pela altura. Se considerarmos
como a base, a altura correspondente será a componente de
perpendicular a
, que é
. Assim, a área (
) do paralelogramo é:
Passo 4
Observando as duas expressões, vemos que a área do paralelogramo é exatamente igual ao módulo do produto vetorial
. Portanto, concluímos que:
Resposta
A área do paralelogramo é
.