Dois vetores
e
representam lados concorrentes de um paralelogramo. Prove que a área do paralelogramo é
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema: temos dois vetores,
e
, que são lados adjacentes de um paralelogramo. Nosso objetivo é provar que a área desse paralelogramo é igual ao módulo do produto vetorial desses vetores, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e como ele se relaciona com áreas de formas geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores
e
, representado por
, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Além disso, o módulo desse produto vetorial é calculado pela fórmula:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos conectar isso com a área do paralelogramo. A área de um paralelogramo pode ser encontrada multiplicando a base pela altura. Se considerarmos
como a base, a altura correspondente será a componente de
perpendicular a
, que é
. Assim, a área (
) do paralelogramo é:
Passo 4
Observando as duas expressões, vemos que a área do paralelogramo é exatamente igual ao módulo do produto vetorial
. Portanto, concluímos que:
Resposta
A área do paralelogramo é
.
Exercícios relacionados
Um bloco de
está preso a uma mola de constante elástica
e oscila sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco está sujeito a uma força de amortecimento proporcional à sua velocidade, dada por
, onde
é a constante de amortecimento. Considerando que o movimento é harmônico amortecido, qual é a frequência (em Hz) das oscilações do bloco?
Considere um sistema massa-mola de massa
e constante elástica
, posto para oscilar verticalmente sob a ação de uma força senoidal Fext,y
. O sistema massa-mola está imerso em um fluido que lhe aplica uma força de amortecimento
, onde Vy é a velocidade do sistema massa-mola. Qual é a frequência de ressonância (em Hz) do sistema massa-mola?
Expresse o vetor
em termos da tríade
onde os eixos
são girados em torno do eixo
(que coincide com o eixo
) de um ângulo de
.
Encontre a velocidade escalar do corpo sendo
, e o ângulo
graus que o fio faz com um eixo vertical