Dois vetores A e B representam lados concorrentes de um paralelogramo. Prove que a área do paralelogramo é |A times B|.

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema: temos dois vetores, A e B, que são lados adjacentes de um paralelogramo. Nosso objetivo é provar que a área desse paralelogramo é igual ao módulo do produto vetorial desses vetores, ou seja, |A times B|. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e como ele se relaciona com áreas de formas geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores A e B, representado por A times B, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Além disso, o módulo desse produto vetorial é calculado pela fórmula:
|A times B| = |A||B|sin(theta)
onde theta é o ângulo entre A e B.

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com a área do paralelogramo. A área de um paralelogramo pode ser encontrada multiplicando a base pela altura. Se considerarmos A como a base, a altura correspondente será a componente de B perpendicular a A, que é |B|sin(theta). Assim, a área ( ÁreaÁ) do paralelogramo é:
Área = |A||B|sin(theta) Á

Passo 4

Observando as duas expressões, vemos que a área do paralelogramo é exatamente igual ao módulo do produto vetorial A times B. Portanto, concluímos que:
Área = |A times B| Á

Resposta

A área do paralelogramo é |A times B|.

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