Dois vetores e representam lados concorrentes de um paralelogramo. Prove que a área do paralelogramo é .

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema: temos dois vetores, e , que são lados adjacentes de um paralelogramo. Nosso objetivo é provar que a área desse paralelogramo é igual ao módulo do produto vetorial desses vetores, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e como ele se relaciona com áreas de formas geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores e , representado por , resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Além disso, o módulo desse produto vetorial é calculado pela fórmula:
onde é o ângulo entre e .

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com a área do paralelogramo. A área de um paralelogramo pode ser encontrada multiplicando a base pela altura. Se considerarmos como a base, a altura correspondente será a componente de perpendicular a , que é . Assim, a área ( Á) do paralelogramo é:
Á

Passo 4

Observando as duas expressões, vemos que a área do paralelogramo é exatamente igual ao módulo do produto vetorial . Portanto, concluímos que:
Á

Resposta

A área do paralelogramo é .

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