Um bloco de 0,50 kg ligado a uma mola ideal com uma constante elástica de 80 N / m oscila em uma superficie horizontal sem atrito. Quando o comprimento da mola é 4,0 cm maior que o comprimento de equilibrio, a velocidade do bloco é 0,50 m / s. A velocidade máxima do bloco é
A) 0,23 m / s
B) 0,32 m / s
C) 0,55 m / s
D) 0,71 m / s
E) 0,93 m / s

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um bloco de massa 0,50 , kg preso a uma mola ideal com constante elástica de 80 , N/m. Esse bloco oscila em uma superfície horizontal sem atrito. Quando a mola está esticada 4,0 , cm além do seu comprimento de equilíbrio, a velocidade do bloco é 0,50 , m/s. Queremos descobrir qual é a velocidade máxima que o bloco atinge durante a oscilação. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de energia potencial elástica e energia cinética em movimentos harmônicos simples.

Passo 2

Vamos começar calculando a energia total do sistema quando a mola está esticada 4,0 , cm (ou 0,04 , m) além do equilíbrio. A energia potencial elástica da mola é dada por:
Ep = 12 k x^2
onde k = 80 , N/m e x = 0,04 , m. Calculando:
Ep = 12 times 80 times (0,04)^2 = 12 times 80 times 0,0016 = 0,064 , J

Passo 3

Além disso, quando a mola está esticada dessa forma, o bloco tem uma velocidade de 0,50 , m/s, o que significa que ele também possui energia cinética. A energia cinética é dada por:
Ec = 12 m v^2
onde m = 0,50 , kg e v = 0,50 , m/s. Calculando:
Ec = 12 times 0,50 times (0,50)^2 = 12 times 0,50 times 0,25 = 0,0625 , J

Passo 4

A energia total do sistema é a soma da energia potencial e da energia cinética:
Etotal = Ep + Ec = 0,064 , J + 0,0625 , J = 0,1265 , J
Como não há atrito, essa energia total será constante durante todo o movimento do bloco.

Passo 5

Para encontrar a velocidade máxima, consideramos o ponto onde toda a energia do sistema está na forma de energia cinética, ou seja, quando a mola está no comprimento de equilíbrio ( x = 0). Nesse ponto:
Etotal = Ec^máx = 12 m vmáx^2 áá
Igualando as energias:
0,1265 = 12 times 0,50 times vmáx^2 á
Resolvendo para vmáxá:
vmáx^2 = 0,1265 times 20,50 = 0,506 á
vmáx = raiz0,506 approx 0,71 , m/s á

Resposta

A velocidade máxima do bloco é 0,71 , m/s, correspondente à alternativa D.

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