Um bloco cúbico, com arestas de dimensão
, desliza sobre uma fina película de óleo numa placa plana. O óleo tem viscosidade
e a película tem espessura
. O bloco de massa
move-se com velocidade constante
sob a ação de uma força constante
. Indique a magnitude e o sentido das tensões de cisalhamento atuando no fundo do bloco. Esboce uma curva para a velocidade resultante do bloco em função do tempo, quando a força é repentinamente removida e o bloco começa a reduzir a velocidade. Obtenha uma expressāo para o tempo requerido para que o bloco perca
de sua velocidade inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco cúbico deslizante sobre uma película de óleo. A gente precisa entender como as forças de cisalhamento (tipo resistência do óleo) atuam no bloco e também descobrir quanto tempo leva para o bloco diminuir sua velocidade quando a força que o empurra é tirada. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre viscosidade, forças e movimento com resistência.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre as tensões de cisalhamento. A tensão de cisalhamento (
) é basicamente a força por unidade de área que o óleo exerce para resistir ao movimento do bloco. Como o bloco está deslizando com velocidade constante, a força que você está aplicando (
) está equilibrando exatamente a força de cisalhamento.
A fórmula para a tensão de cisalhamento é:
onde
é a área de contato entre o bloco e o óleo. Como o bloco é cúbico com aresta
, a área é:
Então, substituindo:
A direção da tensão de cisalhamento é oposta ao movimento do bloco, ou seja, ela age para trás, resistindo ao deslizamento.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece quando a força
é removida de repente. Sem essa força empurrando o bloco, a única coisa que resiste ao movimento é a força de cisalhamento do óleo. Isso faz o bloco desacelerar gradualmente até parar.
A velocidade do bloco em função do tempo vai decrescer exponencialmente. Isso significa que no gráfico da velocidade (
) versus tempo (
), teremos uma curva que começa no valor inicial
e vai se aproximando de zero conforme o tempo passa.
Passo 4
Para encontrar o tempo necessário para o bloco perder 95% da sua velocidade inicial, vamos usar a equação do movimento com resistência viscosa. Quando a força é removida, a única força atuando é a de cisalhamento, que causa uma aceleração negativa (desaceleração).
A equação da velocidade fica:
Sabemos que
, então:
Integrando essa equação, obtemos:
Queremos que
(ou seja, 5% da velocidade inicial):
Dividindo ambos os lados por
:
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para
:
Como
é negativo, podemos escrever:
Resposta
O tempo necessário para que o bloco perca 95 % da sua velocidade inicial é
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