Um bloco cúbico, com arestas de dimensão a mm, desliza sobre uma fina película de óleo numa placa plana. O óleo tem viscosidade mu e a película tem espessura h mm. O bloco de massa M move-se com velocidade constante U sob a ação de uma força constante F. Indique a magnitude e o sentido das tensões de cisalhamento atuando no fundo do bloco. Esboce uma curva para a velocidade resultante do bloco em função do tempo, quando a força é repentinamente removida e o bloco começa a reduzir a velocidade. Obtenha uma expressāo para o tempo requerido para que o bloco perca 95 % de sua velocidade inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco cúbico deslizante sobre uma película de óleo. A gente precisa entender como as forças de cisalhamento (tipo resistência do óleo) atuam no bloco e também descobrir quanto tempo leva para o bloco diminuir sua velocidade quando a força que o empurra é tirada. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre viscosidade, forças e movimento com resistência.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre as tensões de cisalhamento. A tensão de cisalhamento ( tau) é basicamente a força por unidade de área que o óleo exerce para resistir ao movimento do bloco. Como o bloco está deslizando com velocidade constante, a força que você está aplicando ( F) está equilibrando exatamente a força de cisalhamento.
A fórmula para a tensão de cisalhamento é:
tau = FA
onde A é a área de contato entre o bloco e o óleo. Como o bloco é cúbico com aresta a, a área é:
A = a^2
Então, substituindo:
tau = Fa^2
A direção da tensão de cisalhamento é oposta ao movimento do bloco, ou seja, ela age para trás, resistindo ao deslizamento.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando a força F é removida de repente. Sem essa força empurrando o bloco, a única coisa que resiste ao movimento é a força de cisalhamento do óleo. Isso faz o bloco desacelerar gradualmente até parar.
A velocidade do bloco em função do tempo vai decrescer exponencialmente. Isso significa que no gráfico da velocidade ( v) versus tempo ( t), teremos uma curva que começa no valor inicial U e vai se aproximando de zero conforme o tempo passa.

Passo 4

Para encontrar o tempo necessário para o bloco perder 95% da sua velocidade inicial, vamos usar a equação do movimento com resistência viscosa. Quando a força é removida, a única força atuando é a de cisalhamento, que causa uma aceleração negativa (desaceleração).
A equação da velocidade fica:
dvdt = -tau AM = -FM
Sabemos que F = tau A, então:
dvdt = -FM
Integrando essa equação, obtemos:
v(t) = U e^-FM t
Queremos que v(t) = 0,05U (ou seja, 5% da velocidade inicial):
0,05U = U e^-FM t
Dividindo ambos os lados por U:
0,05 = e^-FM t
Aplicando o logaritmo natural:
ln(0,05) = -FM t
Resolvendo para t:
t = -MF ln(0,05)
Como ln(0,05) é negativo, podemos escrever:
t = MF ln(10,05) = MF ln(20)

Resposta

O tempo necessário para que o bloco perca 95 % da sua velocidade inicial é
t = MF ln(20)

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