Um tanque cilíndrico precisa ser projetado para conter 5 kg de nitrogênio comprimido a uma pressão de 200 atm e 20^circ C. As restrições de projeto são que o comprimento precisa ter o dobro do diâmetro e a espessura da parede precisa ser de 0.5 cm. Quais são as dimensões externas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um tanque cilíndrico que precisa guardar 5 kg de nitrogênio comprimido a uma pressão de 200 atm e 20°C. As regras são que o comprimento do tanque é o dobro do diâmetro e que a parede tem 0,5 cm de espessura. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são as dimensões externas desse tanque. Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais para encontrar o volume necessário e depois a geometria do cilindro para descobrir o diâmetro e o comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Lei dos Gases Ideais para encontrar o volume do nitrogênio. A fórmula é:
PV = nRT
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é a quantidade de matéria (em mols),
  • é a constante dos gases ideais,
  • é a temperatura em Kelvin.

Passo 3

Vamos converter todas as unidades para o SI. A temperatura de 20°C em Kelvin é:
T = 20 + 273,15 = 293,15 , K
A pressão de 200 atm em Pascal é:
1 , atm = 101325 , Pa P = 200 times 101325 = 20.265.000 , Pa

Passo 4

Agora, precisamos encontrar Massa molar = 28 , g/mol = 0,028 , kg/mol n = mMassa molar = 50,028 approx 178,57 , mols , a quantidade de mols de nitrogênio. Sabemos que a massa é 5 kg e a massa molar do nitrogênio ( ) é aproximadamente 28 g/mol. Convertendo para kg/mol:

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei dos Gases Ideais para encontrar o volume V = nRTP R = 8.314 , J/(mol·K) V = 178,57 times 8.314 times 293,1520.265.000 approx 0,0216 , m^3 :

Passo 6

Convertendo o volume para litros para facilitar os cálculos:
1 , m^3 = 1000 , litros V approx 21,6 , litros

Passo 7

Sabendo que o tanque é um cilindro, a fórmula do volume é:
V = pi r^2 h
Onde:
  • h = 2d d = 2r é o raio,
  • é a altura (comprimento).
Mas, de acordo com a restrição, o comprimento é o dobro do diâmetro :

Passo 8

Substituindo V = pi r^2 (2 times 2r) = 4pi r^3 na fórmula do volume:
r^3 = V4pi r = ( 0,02164pi )^1/3 approx 0,147 , m = 14,7 , cm
Resolvendo para :

Passo 9

Agora, encontramos o diâmetro:
d = 2r = 2 times 14,7 approx 29,4 , cm
E o comprimento:
h = 2d = 2 times 29,4 approx 58,8 , cm

Passo 10

Lembrando que a espessura da parede é de 0,5 cm, precisamos adicionar essa espessura ao diâmetro externo. Portanto, o diâmetro externo dext = d + 2 times espessura = 29,4 + 2 times 0,5 = 30,4 , cm é:

Passo 11

E o comprimento externo hext = h + 2 times espessura = 58,8 + 2 times 0,5 = 59,8 , cm será:

Resposta

As dimensões externas do tanque são aproximadamente 30,4 cm de diâmetro e 59,8 cm de comprimento.

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