Se o bloco for liberado do repouso em t=0, qual a sua aceleração inicial? Obtenha uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo. Trace a curva V(t). Determine a velocidade do bloco após 0,1 s Se desejássemos que o bloco atingisse uma velocidade de 0,3 m / s neste tempo, qual deveria ser a viscosidade mu do óleo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco que é liberado do repouso no tempo . Precisamos encontrar a aceleração inicial dele, uma expressão para a velocidade em função do tempo, traçar o gráfico dessa velocidade, descobrir a velocidade após 0,1 segundos e, por último, determinar a viscosidade do óleo para que o bloco atinja 0,3 m/s nesse tempo. Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especialmente a relação entre força, massa e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração inicial do bloco. Sabemos pela segunda lei de Newton que:
F = m cdot a
Onde:
  • m cdot g - mu cdot v = m cdot a é a força resultante,
  • m cdot g = m cdot a implies a = g é a massa do bloco,
  • é a aceleração.
Se o bloco está sendo liberado no óleo, a força resultante provavelmente é a força da gravidade menos a força viscosa do óleo. Então,
No início, quando , a velocidade , então a força viscosa também é zero. Assim,
Portanto, a aceleração inicial é igual à aceleração da gravidade, .

Passo 3

Agora, vamos obter uma expressão para a velocidade m cdot dvdt = m cdot g - mu cdot v em função do tempo. A equação diferencial que descreve o movimento é:
dvdt = g - mum cdot v
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por v(t) = m cdot gmu (1 - e^-mum t) :
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando um fator integrante ou reconhecendo que é uma equação de decaimento exponencial. A solução geral é:

Passo 4

Vamos traçar a curva . A expressão que encontramos mostra que a velocidade aumenta de forma exponencial até atingir um valor limite de . O gráfico começará no ponto e se aproximará assintoticamente desse valor conforme aumenta.

Passo 5

Para determinar a velocidade do bloco após 0,1 segundos, basta substituir v(0,1) = m cdot gmu (1 - e^-mum cdot 0,1) na expressão de :

Passo 6

Agora, queremos que 0,3 = m cdot gmu (1 - e^-mum cdot 0,1) . Vamos igualar a expressão e resolver para :
Esta equação pode ser resolvida numericamente para encontrar o valor de , já que envolve termos exponenciais. Dependendo dos valores de e , você pode usar métodos iterativos ou uma calculadora científica para encontrar .

Resposta

A viscosidade 0,3 = m cdot gmu (1 - e^-mum cdot 0,1) do óleo necessária para que o bloco atinja uma velocidade de 0,3 m/s em 0,1 segundos pode ser encontrada resolvendo a equação:
Usando os valores conhecidos de e , pode ser determinado numericamente.

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