Se o bloco for liberado do repouso em
, qual a sua aceleração inicial? Obtenha uma expressão para a velocidade do bloco em função do tempo. Trace a curva
. Determine a velocidade do bloco após
desejássemos que o bloco atingisse uma velocidade de
neste tempo, qual deveria ser a viscosidade
do óleo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco que é liberado do repouso no tempo
. Precisamos encontrar a aceleração inicial dele, uma expressão para a velocidade em função do tempo, traçar o gráfico dessa velocidade, descobrir a velocidade após 0,1 segundos e, por último, determinar a viscosidade
do óleo para que o bloco atinja 0,3 m/s nesse tempo. Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especialmente a relação entre força, massa e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a aceleração inicial do bloco. Sabemos pela segunda lei de Newton que:
Onde:
-
é a força resultante, -
é a massa do bloco, -
é a aceleração.
Se o bloco está sendo liberado no óleo, a força resultante provavelmente é a força da gravidade menos a força viscosa do óleo. Então,
No início, quando
, a velocidade
, então a força viscosa também é zero. Assim,
Portanto, a aceleração inicial é igual à aceleração da gravidade,
.
Passo 3
Agora, vamos obter uma expressão para a velocidade
em função do tempo. A equação diferencial que descreve o movimento é:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando um fator integrante ou reconhecendo que é uma equação de decaimento exponencial. A solução geral é:
Passo 4
Vamos traçar a curva
. A expressão que encontramos mostra que a velocidade aumenta de forma exponencial até atingir um valor limite de
. O gráfico começará no ponto
e se aproximará assintoticamente desse valor conforme
aumenta.
Passo 5
Para determinar a velocidade do bloco após 0,1 segundos, basta substituir
na expressão de
:
Passo 6
Agora, queremos que
. Vamos igualar a expressão e resolver para
:
Esta equação pode ser resolvida numericamente para encontrar o valor de
, já que envolve termos exponenciais. Dependendo dos valores de
e
, você pode usar métodos iterativos ou uma calculadora científica para encontrar
.
Resposta
A viscosidade
do óleo necessária para que o bloco atinja uma velocidade de 0,3 m/s em 0,1 segundos pode ser encontrada resolvendo a equação:
Usando os valores conhecidos de
e
,
pode ser determinado numericamente.