Um rapaz de de altura vê sua imagem inteira em um espelho plano vertical situado a 3 m de distância. Os olhos do rapaz se encontram a do solo, e sua imagem se adapta perfeitamente à extensão do espelho. Determine a extensão do espelho e sua posição em relação ao solo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! Um rapaz de 1,60 metros de altura está olhando para um espelho plano que está a 3 metros de distância dele. Os olhos dele ficam a 1,5 metros do chão, e a imagem que ele vê no espelho ocupa exatamente todo o espaço do espelho. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o tamanho desse espelho e onde ele está posicionado em relação ao chão.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de óptica geométrica, especificamente sobre como imagens são formadas em espelhos planos. Vamos precisar entender um pouquinho de geometria para calcular as medidas necessárias.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a imagem de uma pessoa aparece em um espelho plano. A imagem refletida está atrás do espelho a uma distância igual à distância da pessoa ao espelho. Então, se o rapaz está a 3 metros do espelho, a imagem dele também estará a 3 metros atrás do espelho, totalizando uma distância de 6 metros entre ele e sua imagem.

Passo 3

Agora, vamos pensar na linha de visão do rapaz. Para ver a imagem inteira, a luz precisa refletir do topo e da base do rosto dele no espelho e voltar para os olhos dele. Isso significa que o espelho precisa capturar esses raios de luz.

Passo 4

Vamos desenhar uma linha imaginária do topo da cabeça do rapaz aos olhos, refletindo no espelho, e outra da base do rosto aos olhos, também refletindo no espelho. Essas linhas vão nos ajudar a determinar quais partes do espelho são necessárias para ver toda a imagem.

Passo 5

Sabemos que os raios de luz seguem a lei da reflexão, que diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Isso significa que o ponto onde o raio atinge o espelho está a mesma distância vertical do ponto de onde vem o raio no reflexo.

Passo 6

Agora, vamos calcular a extensão mínima do espelho. Para ver todo o corpo, o espelho precisa ter pelo menos metade da altura do rapaz. Isso porque a luz do topo da cabeça e da base dos pés precisa alcançar os olhos dele através do espelho.
Matematicamente, a altura mínima do espelho pode ser calculada como:

Passo 7

Em relação à posição do espelho no solo, precisamos garantir que o espelho comece um pouco abaixo da altura dos olhos do rapaz e se estenda até um pouco acima.
Como os olhos estão a 1,5 metros do chão e a altura do espelho é de 0,80 metros, podemos calcular a posição:
  • Parte inferior do espelho: os olhos estão a 1,5 m, e o espelho precisa ir abaixo para capturar a base da imagem. Portanto:
  • Parte superior do espelho: do mesmo modo, para o topo:

Resposta

Então, o espelho precisa ter uma extensão de 0,80 metros de altura e deve estar posicionado de forma que a parte inferior esteja a 1,10 metros do chão e a parte superior a 1,90 metros do chão.

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