A compressibilidade está relacionada com a razão entre o decréscimo no volume e o incremento na pressão. A compressibilidade isotérmica kappaT é definida como
kappaT=-1V(partial Vpartial p)T
Mostre que kappaT=1p.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Ela fala sobre compressibilidade isotérmica, que é uma medida de como o volume de um material muda quando a pressão varia, mantendo a temperatura constante. A definição dada é:
kappaT = -1V(partial Vpartial p)T
Nosso objetivo é mostrar que kappaT = 1p. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a lei dos gases ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a lei dos gases ideais, que é dada por:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é a quantidade de substância (em moles),
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura.
Como a questão menciona compressibilidade isotérmica, a temperatura T está constante.

Passo 3

Com a temperatura constante, podemos rearranjar a equação dos gases ideais para expressar o volume V em termos da pressão P:
V = nRTP
Aqui, vemos que o volume V é inversamente proporcional à pressão P quando a temperatura é constante.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de V em relação à P mantendo T constante:
(partial Vpartial P)T = partialpartial P ( nRTP ) = -nRTP^2
Essa derivada nos mostra como o volume muda quando a pressão muda, mantendo a temperatura constante.

Passo 5

Vamos substituir essa derivada na definição da compressibilidade isotérmica:
kappaT = -1V ( -nRTP^2 ) = nRTV P^2
Mas sabemos, da lei dos gases ideais, que PV = nRT. Então:
nRTV = P
Substituindo na expressão de kappaT:
kappaT = PP^2 = 1P

Resposta

Portanto, mostramos que a compressibilidade isotérmica kappaT é igual a 1P.

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