A compressibilidade está relacionada com a razão entre o decréscimo no volume e o incremento na pressão. A compressibilidade isotérmica
é definida como
Mostre que
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Ela fala sobre compressibilidade isotérmica, que é uma medida de como o volume de um material muda quando a pressão varia, mantendo a temperatura constante. A definição dada é:
Nosso objetivo é mostrar que
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a lei dos gases ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a lei dos gases ideais, que é dada por:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a quantidade de substância (em moles), -
é a constante universal dos gases, -
é a temperatura.
Como a questão menciona compressibilidade isotérmica, a temperatura
está constante.
Passo 3
Com a temperatura constante, podemos rearranjar a equação dos gases ideais para expressar o volume
em termos da pressão
:
Aqui, vemos que o volume
é inversamente proporcional à pressão
quando a temperatura é constante.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação à
mantendo
constante:
Essa derivada nos mostra como o volume muda quando a pressão muda, mantendo a temperatura constante.
Passo 5
Vamos substituir essa derivada na definição da compressibilidade isotérmica:
Mas sabemos, da lei dos gases ideais, que
. Então:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
Portanto, mostramos que a compressibilidade isotérmica
é igual a
.