Considere o dipolo formado pelas cargas
, estando a primeira na origem do sistema de coordenadas, e a segunda em
. Determine o potencial para um ponto arbitrário
. Depois, faça uma expansão até o termo
para pontos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o potencial elétrico gerado por um dipolo formado por duas cargas
e
, que estão localizadas na origem e no ponto
do sistema de coordenadas. Depois, vamos fazer uma expansão desse potencial até o termo
para pontos onde
.
Aqui, estamos lidando com eletrostática, especificamente com o conceito de potencial elétrico e dipolos elétricos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do potencial elétrico de uma carga pontual e a expansão multipolar para aproximar o potencial em termos de
,
,
, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do potencial elétrico
devido a uma carga pontual
em um ponto
:
Aqui,
é a posição da carga e
é o ponto onde queremos calcular o potencial.
Passo 3
No nosso caso, temos duas cargas:
-
localizada na origem -
localizada em
Vamos calcular o potencial total
no ponto
somando os potenciais devido a cada carga.
Passo 4
Primeiro, calculamos a distância de
até cada carga.
Para a carga
na origem:
Para a carga
em
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do potencial para cada carga.
Potencial devido à carga
:
Potencial devido à carga
:
Passo 6
Somando os dois potenciais, temos o potencial total
:
Passo 7
Agora, queremos expandir esse potencial para
até o termo
. Para isso, vamos usar a expansão em série de Taylor para a segunda fração.
Vamos considerar que
�� pequeno comparado a
, então podemos expandir
em torno de
.
Passo 8
Expandindo
, temos:
onde
.
Passo 9
Substituindo essa expansão no potencial
:
Passo 10
Agora, somando os potenciais
e
, temos:
As primeiras duas parcelas
se cancelam, restando:
Passo 11
Como queremos a expansão até o termo
, podemos desprezar o termo de ordem
. Assim, o potencial aproximado fica:
Resposta
O potencial elétrico para um ponto arbitrário
devido ao dipolo formado pelas cargas
e
é aproximadamente:
para
.