Considere o dipolo formado pelas cargas -q e+q, estando a primeira na origem do sistema de coordenadas, e a segunda em (0,0, a). Determine o potencial para um ponto arbitrário r=(x, y, z). Depois, faça uma expansão até o termo 1 / r^3 para pontos r>a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o potencial elétrico gerado por um dipolo formado por duas cargas e , que estão localizadas na origem e no ponto do sistema de coordenadas. Depois, vamos fazer uma expansão desse potencial até o termo para pontos onde .
Aqui, estamos lidando com eletrostática, especificamente com o conceito de potencial elétrico e dipolos elétricos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do potencial elétrico de uma carga pontual e a expansão multipolar para aproximar o potencial em termos de , , , etc.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do potencial elétrico V = 14pivarepsilon0 cdot q|r - r'| devido a uma carga pontual em um ponto :
Aqui, é a posição da carga e é o ponto onde queremos calcular o potencial.

Passo 3

No nosso caso, temos duas cargas:
  1. localizada na origem
  2. localizada em
Vamos calcular o potencial total no ponto somando os potenciais devido a cada carga.

Passo 4

Primeiro, calculamos a distância de |r - 0| = raizx^2 + y^2 + z^2 = r até cada carga.
Para a carga |r - (0, 0, a)| = raizx^2 + y^2 + (z - a)^2 na origem:
Para a carga em :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do potencial para cada carga.
Potencial devido à carga V-q = 14pivarepsilon0 cdot -qr :
V+q = 14pivarepsilon0 cdot qraizx^2 + y^2 + (z - a)^2
Potencial devido à carga :

Passo 6

Somando os dois potenciais, temos o potencial total V(r) = V-q + V+q = 14pivarepsilon0 ( -qr + qraizx^2 + y^2 + (z - a)^2 ) :

Passo 7

Agora, queremos expandir esse potencial para até o termo . Para isso, vamos usar a expansão em série de Taylor para a segunda fração.
Vamos considerar que �� pequeno comparado a , então podemos expandir em torno de .

Passo 8

Expandindo raizr^2 - 2 a z + a^2 approx r - a zr + a^22 r^3 z^2 , temos:
onde .

Passo 9

Substituindo essa expansão no potencial V+q approx 14pivarepsilon0 cdot qr - a zr + a^2 z^22 r^3 approx 14pivarepsilon0 ( qr + q a zr^3 + q a^2 z^22 r^5 ) :

Passo 10

Agora, somando os potenciais V(r) = 14pivarepsilon0 ( -qr + qr + q a zr^3 + q a^2 z^22 r^5 ) e V(r) = 14pivarepsilon0 ( q a zr^3 + q a^2 z^22 r^5 ) , temos:
As primeiras duas parcelas se cancelam, restando:

Passo 11

Como queremos a expansão até o termo V(r) approx 14pivarepsilon0 cdot q a zr^3 , podemos desprezar o termo de ordem . Assim, o potencial aproximado fica:

Resposta

O potencial elétrico para um ponto arbitrário V(r) approx 14pivarepsilon0 cdot q a zr^3 devido ao dipolo formado pelas cargas e é aproximadamente:
para .

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