Um bloco de 3,0 kg desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito e está preso a uma mola ideal. O bloco executa um MHS em torno da posição de equilíbrio, com um período de 8,0s e amplitude de 30 cm . Quando o bloco está passando pela posição de equilíbrio, uma massa de modelar é deixada cair verticalmente sobre o bloco, de tal forma que o período do movimento passa a ser 8,2s. Se a massa fica grudada no bloco após atingi-lo verticalmente, determine (a) o valor da massa de modelar, (b) a nova amplitude de oscilação. Dica: a função da massa de modelar é aumentar a massa do sistema, ou seja, não é necessário analisar o movimento dela antes de se grudar ao bloco.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um bloco de 3,0 kg deslizando sobre uma superfície sem atrito, preso a uma mola ideal. Esse sistema realiza um Movimento Harmônico Simples (MHS) com um período de 8,0 segundos e uma amplitude de 30 cm. Quando uma massa adicional é deixada cair sobre o bloco, o período muda para 8,2 segundos. Precisamos descobrir:
a) Qual é o valor dessa massa adicional.
b) Qual será a nova amplitude da oscilação.
Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas do MHS relacionadas ao período e à massa no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do período T de um MHS:
T = 2pi raizmk
Onde:
  • T é o período
  • m é a massa
  • k é a constante da mola
Vamos usar essa fórmula para encontrar a constante da mola k com os dados iniciais.

Passo 3

Rearranjando a fórmula para encontrar k:
k = 4pi^2 mT^2
Substituindo os valores iniciais:
m = 3,0 , kg
T = 8,0 , s
k = 4pi^2 times 3,08,0^2
k = 12pi^264
k = 3pi^216 , N/m

Passo 4

Agora, com a constante da mola k conhecida, vamos encontrar a massa total do sistema após a massa adicional ser adicionada. Sabemos que o novo período é 8,2 segundos.
Usando novamente a fórmula do período:
T' = 2pi raizm + De
Onde:
  • T’ é o novo período
  • T' = 2pi raizm + De é a massa adicional
Rearranjando para encontrar T'2pi = raizm + De:
(T'2pi)^2 = m + De
m + De
De
T' = 8,2 , s
k = 3pi^216
Substituindo os valores:
De
De

Passo 5

Calculando os valores numéricos:
Primeiro, calculemos:
(8,22pi)^2 = (8,26,2832)^2 approx (1,304)^2 approx 1,700
Agora:
De
De
De
De
De
De

Passo 6

Agora, vamos encontrar a nova amplitude da oscilação após a massa adicional ser adicionada.
Quando uma massa é adicionada ao sistema durante a passagem pela posição de equilíbrio, a energia do sistema é conservada. A energia total no MHS é dada por:
E = 12 k A^2
Onde:
  • E é a energia total
  • k é a constante da mola
  • A é a amplitude
Como a massa é adicionada na posição de equilíbrio, a amplitude pode mudar. Vamos assumir que a energia permanece a mesma.
Então, a energia inicial:
Einicial = 12 k A^2
A energia após a adição da massa:
Efinal = 12 k A'^2
Como 12 k A^2 = 12 k A'^2 :
A^2 = A'^2
A = A'

Resposta

b) A nova amplitude de oscilação permanece 30 cm.

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