Um bloco de desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito e está preso a uma mola ideal. O bloco executa um MHS em torno da posição de equilíbrio, com um período de 8,0s e amplitude de 30 cm . Quando o bloco está passando pela posição de equilíbrio, uma massa de modelar é deixada cair verticalmente sobre o bloco, de tal forma que o período do movimento passa a ser 8,2s. Se a massa fica grudada no bloco após atingi-lo verticalmente, determine (a) o valor da massa de modelar, (b) a nova amplitude de oscilação. Dica: a função da massa de modelar é aumentar a massa do sistema, ou seja, não é necessário analisar o movimento dela antes de se grudar ao bloco.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um bloco de 3,0 kg deslizando sobre uma superfície sem atrito, preso a uma mola ideal. Esse sistema realiza um Movimento Harmônico Simples (MHS) com um período de 8,0 segundos e uma amplitude de 30 cm. Quando uma massa adicional é deixada cair sobre o bloco, o período muda para 8,2 segundos. Precisamos descobrir:
a) Qual é o valor dessa massa adicional.
b) Qual será a nova amplitude da oscilação.
Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas do MHS relacionadas ao período e à massa no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do período T de um MHS:
Onde:
  • T é o período
  • m é a massa
  • k é a constante da mola
Vamos usar essa fórmula para encontrar a constante da mola k com os dados iniciais.

Passo 3

Rearranjando a fórmula para encontrar k:
Substituindo os valores iniciais:

Passo 4

Agora, com a constante da mola k conhecida, vamos encontrar a massa total do sistema após a massa adicional ser adicionada. Sabemos que o novo período é 8,2 segundos.
Usando novamente a fórmula do período:
Onde:
  • T’ é o novo período
  • é a massa adicional
Rearranjando para encontrar :
Substituindo os valores:

Passo 5

Calculando os valores numéricos:
Primeiro, calculemos:
Agora:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a nova amplitude da oscilação após a massa adicional ser adicionada.
Quando uma massa é adicionada ao sistema durante a passagem pela posição de equilíbrio, a energia do sistema é conservada. A energia total no MHS é dada por:
Onde:
  • E é a energia total
  • k é a constante da mola
  • A é a amplitude
Como a massa é adicionada na posição de equilíbrio, a amplitude pode mudar. Vamos assumir que a energia permanece a mesma.
Então, a energia inicial:
A energia após a adição da massa:
Como :

Resposta

b) A nova amplitude de oscilação permanece 30 cm.

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