Um sistema massa mola é liberado, do repouso, de uma posição que está a 15,0 cm de distante do ponto de equilíbrio. Após passar um intervalo de tempo de
, a posição máxima que a o bloco consegue se afastar do ponto de equilíbrio é reduzida, por fricção, para
. (a) Considerando que a força de atrito é tal que a amplitude do movimento oscilatório decai exponencialmente com o tempo, qual é o valor de
(constante de tempo ou tempo caracterísco) para o decaimento da amplitude? (b) Qual é o valor da constante de tempo para o decaimento da energia total desse sistema?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema massa-mola que está oscilando e sofre atrito, fazendo com que a amplitude das oscilações diminua com o tempo de forma exponencial. Precisamos calcular duas constantes de tempo relacionadas a esse decaimento: uma para a amplitude e outra para a energia total do sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre movimento harmônico amortecido e como a amplitude e a energia decayem ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos um sistema massa-mola com atrito, a amplitude das oscilações decai exponencialmente. A fórmula geral para a amplitude em função do tempo é:
Onde:
-
é a amplitude no tempo , -
é a amplitude inicial, -
é a constante de tempo característica do decaimento.
Passo 3
No enunciado, a amplitude inicial
é de 15,0 cm, e após um tempo
s, a amplitude
é reduzida para 2,50 cm. Vamos usar esses valores na fórmula para encontrar
.
Passo 4
Vamos isolar o termo exponencial dividindo os dois lados por 15,0:
Calculando a fração:
Passo 5
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Calculando o logaritmo:
Passo 6
Agora, podemos resolver para
:
Resposta
(a) O valor da constante de tempo para o decaimento da amplitude é aproximadamente
.