Um sistema massa mola é liberado, do repouso, de uma posição que está a 15,0 cm de distante do ponto de equilíbrio. Após passar um intervalo de tempo de , a posição máxima que a o bloco consegue se afastar do ponto de equilíbrio é reduzida, por fricção, para . (a) Considerando que a força de atrito é tal que a amplitude do movimento oscilatório decai exponencialmente com o tempo, qual é o valor de (constante de tempo ou tempo caracterísco) para o decaimento da amplitude? (b) Qual é o valor da constante de tempo para o decaimento da energia total desse sistema?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema massa-mola que está oscilando e sofre atrito, fazendo com que a amplitude das oscilações diminua com o tempo de forma exponencial. Precisamos calcular duas constantes de tempo relacionadas a esse decaimento: uma para a amplitude e outra para a energia total do sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre movimento harmônico amortecido e como a amplitude e a energia decayem ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos um sistema massa-mola com atrito, a amplitude das oscilações decai exponencialmente. A fórmula geral para a amplitude em função do tempo é:
Onde:
  • é a amplitude no tempo ,
  • é a amplitude inicial,
  • é a constante de tempo característica do decaimento.

Passo 3

No enunciado, a amplitude inicial é de 15,0 cm, e após um tempo s, a amplitude é reduzida para 2,50 cm. Vamos usar esses valores na fórmula para encontrar .

Passo 4

Vamos isolar o termo exponencial dividindo os dois lados por 15,0:
Calculando a fração:

Passo 5

Para resolver para , vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Calculando o logaritmo:

Passo 6

Agora, podemos resolver para :

Resposta

(a) O valor da constante de tempo para o decaimento da amplitude é aproximadamente .

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